Función característica

A función característica dunha variable aleatoria ou da súa distribución de probabilidade é unha función de variable real que toma valores complexos e que permite a aplicación de métodos analíticos (é dicir, da análise funcional) no estudio da probabilidade.

Historia

O método das funcións características foi introducido nas probabilidades por A. Lyapunov en 1904 para a demostración do teorema central do límite que hoxe leva o seu nome. A versión definitiva deste teorema foi obtida posteriormente por J. W. Lindeberg.

Definición

Dada unha variable aleatoria continua $X\,\!$ a súa función característica, que se denota mediante $\varphi _{X}(t)\,\!$ para $t\,\!$ real, defínese como

$\varphi _{X}\!:\mathbb {R} \to \mathbb {C} ;\quad \varphi _{X}(t)=\mathbb {E} {\big [}e^{itX}{\big ]}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}f_{X}(x)\,dx\qquad$

onde se fai uso da función exponencial complexa e $\mathbb {E}$ denota a esperanza matemática. Usando as propiedades da función exponencial complexa, a función característica pode rescribirse en termos dunha parte real e unha imaxinaria:

$\varphi _{X}(t)=\mathbb {E} [\cos(tX)]+i\mathbb {E} [\sin(tX)]=\int _{-\infty }^{\infty }\cos(tx)f_{X}(x)\,dx+i\int _{-\infty }^{\infty }\sin(tx)f_{X}(x)\,dx$

Momentos

Cando os momentos dunha variable aleatoria existen, pódense calcular mediante as derivadas da función característica. Derivando formalmente ambos lados da definición e tomando $t=0\,\!$,

$\varphi _{X}'(0)=i\mathbb {E} [X]\,\!$

e derivando dúas veces e substituíndo $t=0\,\!$ resulta

$\varphi _{X}''(0)=-\mathbb {E} [X^{2}]\,\!$.

Desta maneira pódense obter expresións que permiten determinar a varianza e esperanza de $X\,\!$. Analogamente, se relacionan momentos e derivadas de ordes superiores:

$\varphi _{X}^{(n)}(0)=i^{n}\mathbb {E} [X^{n}]$

Probabilidade e análise funcional

En análise funcional se se identifica a distribución da variable aleatoria considerada cunha medida positiva, a función característica denomínase transformada de Fourier da medida correspondente.

Función xeradora de momentos

Una función relacionada coa función característica é a función xeradora de momentos, designada como $M_{X}(t)\,\!$ que se define mediante

$M_{X}(t)=\mathbb {E} \left(e^{tX}\right),\quad t\in \mathbb {R} ,$

Aínda que esta función é máis sinxela, non sempre existe, dado que a esperanza matemática que a define pode non existir, dependiendo da distribución da variable aleatoria e do valor de $t\,\!$.