Diferenzas entre revisións de «Base (álxebra linear)»

sen resumo de edición
(Sigo tradución)
{{enuso}}
[[Ficheiro:Basis graph (no label).svg|miniatura|Base estándar no [[plano cartesiano]].]]
Na [[álxebra linear]], unha '''base''' é un conxunto ''<math>\mathcal{B''}</math> do [[espazo vectorial]] <math>V</math> se se cumpren as seguintes condicións:
 
* Todos os elementos de <math>\mathcal{B}</math> pertencen ao espazo vectorial <math>V</math>.
== Observacións ==
* As bases son conxuntos ordenados, é dicir que aínda que {a,b,c} e {b,a,c} xeran o mesmo espazo vectorial, as bases non son iguais.
* Dado un [[vector]] ''<math>v''</math> e unha base <math>\mathcal{B}</math> dun espazo vectorial <math>V</math>, existe unha única maneira de escribir ''<math>v''</math> como [[combinación linear]] dos elementos da base <math>\mathcal{B}</math>. É dicir, a representación dun vector nunha base é única.
* Da observación anterior despréndese que as bases non son únicas. En xeral, hai infinitas bases distintas para un mesmo espazo vectorial. Por exemplo, se <math>V=\mathbb{R}^3</math>, unha base moi simple de <math>V</math> é:
{{Ecuación|<math>\mathcal{B}=\{ (1,0,0); (0,1,0); (0,0,1)\}</math>||left}}
En xeral, toda base de <math>\mathbb{R}^3</math> estará formada por tres vectores linearmente independentes que pertenzan a <math>\mathbb{R}^3</math>. Cando o espazo vectorial en si mesmo é un conxunto finito entón o número de bases distintas é finito.
* Se <math>V</math> é un espazo vectorial de [[Dimensión dun espazo vectorial|dimensión]] finita, entón todas as bases de <math>V</math> serán finitas e terán a mesma cantidade de elementos.
* Non todas as bases teñen un número finito de elementos. Por exemplo, as bases do espazo vectorial dos polinomios dunha variable teñen infinitos elementos. Unha base posible é a formada polas potencias de ''<math>X''</math>: <math>\mathcal{B} =\{1, X, X^2, X^3,\dots \}</math>
 
== Espazos de dimensión finita ==
 
<li> O procedemento anterior é válido para calquera dimensión. Supóñase dado o subespazo
{{Ecuación|1=<math>\scriptstyle S=\left\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4 \ : \ x_1 - x_2 = 0 \ \land \ x_1 - x_4 = 0 \ \land \ 5x_1 - 6x_3 - 5x_4 = 0\right\}</math>}} neste caso trátase de varias ecuacións, e todo punto pertencente a el debe satisfacelas simultaneamente. Así, obterase a base reducindo as ecuacións a expresións máis simples. A solución do sistema é <math>(x_1, x_2, x_3, x_4) = (1, 1, 0, 1)t</math> e, polo tanto, o conxunto que contén o único vector (1,&nbsp;1,&nbsp;0,&nbsp;1) é a base de ''<math>S''</math>.
</li>
 
<li> Aplícase o mesmo a outro tipo de espazos, por exemplo, polinomios de grao 3. Considérese o subespazo <math>P = \{ax^3+bx^2+cx+d : a-b=0\land 3c+d=0\}</math>. Exprésanse as ecuacións así
{{Ecuación|1= <math>\left\{\begin{array}{lcr}b&=&a \\ d&=&-3c\end{array}\right.</math>}} o que implica que o subespazo está conformado polos polinomios da forma
{{Ecuación|1=<math>p(x) = a x^3 + a x^2 + cx - 3c = a (x^3 + x^2) + c (x-3)</math>.}} Polo tanto, <math>\{x^3 + x^2, x - 3\}</math> é unha base do espazo ''<math>P''</math>.
</li>
 
<li><p> Considérese agora o problema inverso: dada unha base, búscase o [[Sistema xerador|espazo que xera]].
</p><p> SSe por exemplo <math>B = \left\{(1,-1,1)\right\}</math> é a base dalgún subespazo de <math>\mathbb{R}^3</math>, o obxectivo entón é atopar o conxunto de combinacións lineares <math>\mathrm{gen}(B) = \{(1,-1,1)t : t \in \mathbb{R}\}</math> en forma implícita. Para isto, tómese unha [[tupla|terna ordenada]] <math>(x,y,z)\in\mathrm{gen}(B)</math>. Cúmprese que
</p>{{Ecuación|1=<math>(x,y,z)=(1,-1,1)t</math>}}
<p>o cal é un [[sistema de ecuacións lineares]]. Pode eliminarse o parámetro ''<math>t''</math>, para obter
{{Ecuación|1=<math>\mathrm{gen}(B) = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x+y = y+z = 0\}</math>.}}
</p></li>
35.636

edicións