Diferenzas entre revisións de «Base (álxebra linear)»

Na [[álxebra linear]], unha '''base''' é un conxunto ''B'' do [[espazo vectorial]] ''<math>V''</math> se se cumpren as seguintes condicións:

* Todos os elementos de <math>\mathcal{B}</math> pertencen ao espazo vectorial ''<math>V''</math>.

* Todo elemento de ''<math>V''</math> pode escribirse como [[combinación linear]] dos elementos da base <math>\mathcal{B}</math> (é dicir, <math>\mathcal{B}</math> é un [[sistema xerador]] de <math>V</math>).<ref group="Nota">No caso de bases de Hilbert enténdese por "combinación linear" unha suma infinita converxente</ref>

* Dado un [[vector]] ''v'' e unha base <math>\mathcal{B}</math> dun espazo vectorial <math>V</math>, existe unha única maneira de escribir ''v'' como [[combinación linear]] dos elementos da base <math>\mathcal{B}</math>. É dicir, a representación dun vector nunha base é única.

* Da observación anterior despréndese que as bases non son únicas. En xeral, hai infinitas bases distintas para un mesmo espazo vectorial. Por exemplo, se <math>V=\mathbb{R}^3</math>, unha base moi simple de ''<math>V''</math> é:

* Se <math>V</math> é un espazo vectorial de [[Dimensión dun espazo vectorial|dimensión]] finita, entón todas as bases de <math>V</math> serán finitas e terán a mesma cantidade de elementos.

<li> ElO procedimientoprocedemento anterior esé válido para cualquiercalquera dimensión. SupongamosSupóñase dado elo subespazo

{{Ecuación|1=<math>\scriptstyle S=\left\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4 \ : \ x_1 - x_2 = 0 \ \land \ x_1 - x_4 = 0 \ \land \ 5x_1 - 6x_3 - 5x_4 = 0\right\}</math>}} en esteneste caso se tratatrátase de varias ecuacionesecuacións, ye todo punto pertenecientepertencente a élel debe satisfacerlassatisfacelas simultáneamentesimultaneamente. Así, seobterase obtendrá laa base reduciendoreducindo lasas ecuacionesecuacións a expresionesexpresións másmáis simples. LaA solución deldo sistema esé <math>(x_1, x_2, x_3, x_4) = (1, 1, 0, 1)t</math> e, y por lopolo tanto, elo conjuntoconxunto que contienecontén alo único vector (1,&nbsp;1,&nbsp;0,&nbsp;1) esé laa base de ''S''.

<li> Aplícase o mesmo a outro tipo de espazos, por ejemploexemplo, polinomios de gradograo 3. ConsideremosConsidérese elo subespazo <math>P = \{ax^3+bx^2+cx+d : a-b=0\land 3c+d=0\}</math>. ExpresamosExprésanse lasas ecuacionesecuacións así

{{Ecuación|1= <math>\left\{\begin{array}{lcr}b&=&a \\ d&=&-3c\end{array}\right.</math>}} loo cualque implica que elo subespazo está conformado por lospolos polinomios de lada forma

{{Ecuación|1=<math>p(x) = a x^3 + a x^2 + cx - 3c = a (x^3 + x^2) + c (x-3)</math>.}} Por loPolo tanto, <math>\{x^3 + x^2, x - 3\}</math> é unha base do espazo ''P''.

<li><p> Considérese ahoraagora elo problema inverso: dada unha base, sebúscase busca elo [[Sistema xerador|espazo que xera]].

</p><p> SiS por ejemploexemplo <math>B = \left\{(1,-1,1)\right\}</math> esé laa base de algúndalgún subespazo de <math>\mathbb{R}^3</math>, elo objetivoobxectivo entoncesentón esé hallaratopar elo conjuntoconxunto de combinacionescombinacións linealeslineares <math>\mathrm{gen}(B) = \{(1,-1,1)t : t \in \mathbb{R}\}</math> en forma implícita. Para estoisto, tómese unha [[tupla|terna ordenada]] <math>(x,y,z)\in\mathrm{gen}(B)</math>. Se cumpleCúmprese que

<p>elo cualcal esé un [[sistema de ecuacionesecuacións linealeslineares]]. PuedePode eliminarse elo parámetro ''t'', para obtenerobter

A dimensión dun espazo vectorial defínese como o número de elementos ou cardinal dunha base dese espazo. Dado que para todo espazo de Hilbert de dimensión infinita pode distinguirse entre bases de Hilbert e de Hamel, pódese definir a dimensión vectorial ordinaria e a dimensión vectorial de Hilbert. Tense que para calquera espazo vectorial ''<math>V''</math>, a relación entre dimensión de Hammel e dimensión de Hilbert é: