Diferenzas entre revisións de «Base (álxebra linear)»

Sigo tradución
(Traduzo)
(Sigo tradución)
Na [[álxebra linear]], unha '''base''' é un conxunto ''B'' do [[espazo vectorial]] ''V'' se se cumpren as seguintes condicións:
 
* Todos os elementos de <math>\mathcal{B}</math> pertencen ao espazo vectorial ''V''.
* Os elementos de ''<math>\mathcal{B''}</math> forman un sistema [[Independencia linear|linearmente independiente]].
* Todo elemento de ''V'' pode escribirse como [[combinación linear]] dos elementos da base ''<math>\mathcal{B''}</math> (é dicir, ''<math>\mathcal{B''}</math> é un [[sistema xerador]] de V).<ref group="Nota">No caso de bases de Hilbert enténdese por "combinación linear" unha suma infinita converxente</ref>
 
== Lema de Zorn ==
== Observacións ==
* As bases son conxuntos ordenados, é dicir que aínda que {a,b,c} e {b,a,c} xeran o mesmo espazo vectorial, as bases non son iguais.
* Dado un [[vector]] ''v'' e unha base <math>\mathcal{B}</math> dun espazo vectorial V, existe unha única maneira de escribir ''v'' como [[combinación linear]] dos elementos da base <math>\mathcal{B}</math>. É dicir, a representación dun vector nunha base é única.
* Da observación anterior despréndese que as bases non son únicas. En xeral, hai infinitas bases distintas para un mesmo espazo vectorial. Por exemplo, se <math>V=\mathbb{R}^3</math>, unha base moi simple de ''V'' é:
{{Ecuación|<math>\mathcal{B}=\{ (1,0,0); (0,1,0); (0,0,1)\}</math>||left}}
 
Os [[Subespazo vectorial|subespazos]] dun espazo vectorial de dimensión finita tamén teñen, polo menos, unha base, de dimensión menor á do espazo no que están contidos. Por exemplo, unha [[recta]] homoxénea no plano, é dicir que pasa pola orixe determinado neste, ten dimensión un, por ser a súa base un único vector. Evidentemente, esta dimensión é menor cá do plano na que a recta está contida.
 
<!--
=== EjemplosExemplos de cálculo ===
[[Ficheiro:Vec-indep.png|miniatura|128px|Tres segmentos orientados non coplanarios son unha base do espazo tridimensional]]
Se indicaIndícase a continuación, a través de ejemplosexemplos, elo procedimientoprocedemento de cálculo de lada base de undun subespazo vectorial dado.
 
<ol>
 
<li>
TomemosTómese laa recta <math>r = \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y = x\right\}</math> en elno plano cartesiano. SeaSexa <math>(a,b)</math> unoun dedos susseus puntos, cumplecumpre <math>b=a</math> por pertenecerpertencer alao conjuntoconxunto ''r''. Por loPolo tanto, puedepode escribirse
{{Ecuación|1=<math>(a,b) = (a,a) = a(1,1)</math>.}} Tomando cualquiercalquera <math>a\in\mathbb R</math> se obtienenobtéñense todos losos puntos de lada recta, luegologo
{{Ecuación|1=<math>r = \mathrm{gen}\{(1,1)\}</math>.}} LaA recta tieneten como base alo segmento orientado (1,&nbsp;1), que laa «dirigedirixe» a 45° de losdos [[ejeseixos cartesianos]], caracterizados por lospolos vectores de lada [[base canónica]].
</li>
 
<li> AhoraAgora calculemoscalcúlase laa base deldo [[Plano (geometríaxeometría)|plano]] homogéneohomoxéneo <math>\alpha = \left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x+y+z=0\right\}</math>. Despéxase unha das variables de lada ecuación deldo plano en función de lasdas otrasoutras dosdúas.
{{Ecuación|1=<math>z = -x-y</math>.}} SeaSexa <math>(a,b,c)\in\alpha \Rightarrow (a,b,c)=(a,b,-a-b)=a(1,0,-1)+b(0,1,-1)</math> ye por lopolo tanto, elo conjuntoconxunto <math>\left\{(1,0,-1),(0,1,-1)\right\}</math> é unha base deste plano.
</li>
<!--
 
<li> El procedimiento anterior es válido para cualquier dimensión. Supongamos dado el subespazo
{{Ecuación|1=<math>\scriptstyle S=\left\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4 \ : \ x_1 - x_2 = 0 \ \land \ x_1 - x_4 = 0 \ \land \ 5x_1 - 6x_3 - 5x_4 = 0\right\}</math>}} en este caso se trata de varias ecuaciones, y todo punto perteneciente a él debe satisfacerlas simultáneamente. Así, se obtendrá la base reduciendo las ecuaciones a expresiones más simples. La solución del sistema es <math>(x_1, x_2, x_3, x_4) = (1, 1, 0, 1)t</math>, y por lo tanto, el conjunto que contiene al único vector (1,&nbsp;1,&nbsp;0,&nbsp;1) es la base de ''S''.
 
== Notas ==
{{listaref|Nota}}
<references group="Nota"/>
 
== Véxase tamén ==
35.620

edicións