Diferenzas entre revisións de «Base (álxebra linear)»

Traduzo
(Sigo tradución)
(Traduzo)
* Todo sistema xerador dun espazo vectorial contén unha base vectorial (de Hamel).
* Todo conxunto linearmente independente nun espazo vectorial, pode ser estendido a unha base.
 
<!--
== Observacións ==
== Observaciones adicionales ==
#* LasAs bases son conjuntosconxuntos ordenados., Esé decirdicir que siaínda bienque {a,b,c} ye {b,a,c} generanxeran o mesmo espazo vectorial, lasas bases nonon son igualesiguais.
#* Dado un [[vector]] ''v'' e unha base B de undun espazo vectorial V, existe unha única maneramaneira de escribir ''v'' como [[combinación lineallinear]] de losdos elementos de lada base B. EsÉ decirdicir, laa representación de undun vector nunha base é única.
#* De laDa observación anterior se desprendedespréndese que lasas bases nonon son únicas. En generalxeral, suele haberhai infinitas bases distintas para un mesmo espazo vectorial. Por ejemploexemplo, sise <math>V=\mathbb{R}^3</math>, unha base moi simple de ''V'' esé:
{{Ecuación|<math>\mathcal{B}=\{ (1,0,0); (0,1,0); (0,0,1)\}</math>||left}}
laque cualé es conocidacoñecida como base canónica de <math>\mathbb{R}^3</math>.
 
OtrasOutras bases de <math>\mathbb{R}^3</math> son:
{{Ecuación|<math>\begin{cases} \mathcal{B}'=\{(2,0,0); (0,1,0); (0,0,1)\} \\
\mathcal{B}''=\{(1,1,1); (1,1,0); (1,0,0)\} \\ \mathcal{B}'''=\{(504,0,0); (0,7,0); (0,0,1/2)\} \end{cases} </math>||left}}
 
En xeral, toda base de <math>\mathbb{R}^3</math> estará formada por tres vectores linealmentelinearmente independientesindependentes que pertenezcanpertenzan a <math>\mathbb{R}^3</math>. CuandoCando elo espazo vectorial en si mesmo é un conjuntoconxunto finito entoncesentón elo número de bases distintas esé finito.
#* SiSe V esé un espazo vectorial de [[Dimensión dun espazo vectorial|dimensión]] finita, entoncesentón todas lasas bases de V serán finitas ye tendránterán laa mismamesma cantidadcantidade de elementos.
#* NoNon todas lasas bases tienenteñen un número finito de elementos. Por ejemploexemplo, lasas bases deldo espazo vectorial de losdos polinomios dunha variable tienenteñen infinitos elementos. Unha base posible é a formada por laspolas potencias de ''X'': <math>\mathcal{B} =\{1, X, X^2, X^3,\dots \}</math>
-->
 
== Espazos de dimensión finita ==
Un espazo de dimesión finita é todo aquel xerado por un conxunto finito de vectores. Neste caso pode definirse a dimensión do espazo como o cardinal do conxunto de vectores que constitúe a base.
No caso de espazos vectoriais de dimensión infinita, como os que aparecen na [[análise funcional]] compre sinalar algunhas distincións.
 
=== Bases de Hamel ye de Hilbert ===
Nun espazo vectorial de Hilbert de dimensión infinita existen varias posibilidades de estender o concepto de [[combinación linear]] finita. Dun lado se se consideran unicamente [[combinación linear|combinacións lineares]] finitas chégase ao concepto de [[base de Hamel]] ou base linear. Pode probarse que todas as bases de Hamel teñen o mesmo número de elementos; este número ou [[Número cardinal|cardinal]] chámase dimensión linear ou dimensión de Hamel. Un conxunto constitúe unha base de Hamel [[se e só se]]:
:<math>B_{\rm Ham}:\mbox{base de Hamel} \Rightarrow </math>
 
== Notas ==
{{listaref|grupo=Nota}}
 
== Véxase tamén ==
35.918

edicións