Diferenzas entre revisións de «Base (álxebra linear)»

Sigo tradución
(Traduzo de es.wiki)
 
(Sigo tradución)
 
== Lema de Zorn ==
Mediante o uso do [[lema de Zorn]], é posible probar que todo espazo vectorial posúe unha base. A pesar de que é posible que un espazo vectorial non posúa unha única base, cúmprese que todo par de bases dun mismomesmo espazo vectorial teñen a mesma [[cardinalidade]]. Por ser así, esa cardinalidade chámase [[Dimensión dun espazo vectorial|dimensión]] do espazo vectorial.
 
Outras propiedades, consecuencias do [[lema de Zorn]]:
<!--
== Observaciones adicionales ==
# Las bases son conjuntos ordenados. Es decir que si bien {a,b,c} y {b,a,c} generan elo mismomesmo espazo vectorial, las bases no son iguales.
# Dado un [[vector]] ''v'' e unha base B de un espazo vectorial V, existe unha única manera de escribir ''v'' como [[combinación lineal]] de los elementos de la base B. Es decir, la representación de un vector nunha base é única.
# De la observación anterior se desprende que las bases no son únicas. En general, suele haber infinitas bases distintas para un mismomesmo espazo vectorial. Por ejemplo, si <math>V=\mathbb{R}^3</math>, unha base moi simple de ''V'' es:
{{Ecuación|<math>\mathcal{B}=\{ (1,0,0); (0,1,0); (0,0,1)\}</math>||left}}
la cual es conocida como base canónica de <math>\mathbb{R}^3</math>.
{{Ecuación|<math>\begin{cases} \mathcal{B}'=\{(2,0,0); (0,1,0); (0,0,1)\} \\
\mathcal{B}''=\{(1,1,1); (1,1,0); (1,0,0)\} \\ \mathcal{B}'''=\{(504,0,0); (0,7,0); (0,0,1/2)\} \end{cases} </math>||left}}
En xeral, toda base de <math>\mathbb{R}^3</math> estará formada por tres vectores linealmente independientes que pertenezcan a <math>\mathbb{R}^3</math>. Cuando el espazo vectorial en si mismomesmo esé un conjunto finito entonces el número de bases distintas es finito.
# Si V es un espazo vectorial de [[Dimensión dun espazo vectorial|dimensión]] finita, entonces todas las bases de V serán finitas y tendrán la misma cantidad de elementos.
# No todas las bases tienen un número finito de elementos. Por ejemplo, las bases del espazo vectorial de los polinomios dunha variable tienen infinitos elementos. Unha base posible é a formada por las potencias de X: <math>\mathcal{B} =\{1, X, X^2, X^3,\dots \}</math>
</li>
 
<li> LoAplícase mismoo se aplicamesmo a otrooutro tipo de espazos, por ejemplo, polinomios de grado 3. Consideremos el subespazo <math>P = \{ax^3+bx^2+cx+d : a-b=0\land 3c+d=0\}</math>. Expresamos las ecuaciones así
{{Ecuación|1= <math>\left\{\begin{array}{lcr}b&=&a \\ d&=&-3c\end{array}\right.</math>}} lo cual implica que el subespazo está conformado por los polinomios de la forma
{{Ecuación|1=<math>p(x) = a x^3 + a x^2 + cx - 3c = a (x^3 + x^2) + c (x-3)</math>.}} Por lo tanto, <math>\{x^3 + x^2, x - 3\}</math> é unha base do espazo ''P''.
== Espazos de dimensión infinita ==
No caso de espazos vectoriais de dimensión infinita, como os que aparecen na [[análise funcional]] compre sinalar algunhas distincións.
 
<!--
=== Bases de Hamel y de Hilbert ===
En unNun espazo vectorial de Hilbert de dimensión infinita existen varias posibilidades de extenderestender elo concepto de [[combinación lineallinear]] finita. De unDun lado sise se consideramosconsideran únicamenteunicamente [[combinación lineallinear|combinacionescombinacións linealeslineares]] finitas llegamoschégase alao concepto de [[base de Hamel]] oou base lineallinear. PuedePode probarse que todas lasas bases de Hamel tienenteñen elo mismomesmo número de elementos,; este número oou [[Número cardinal|cardinal]] se llamachámase dimensión lineallinear oou '''dimensión de Hamel'''. Un conjuntoconxunto constitúe unha base de Hamel [[sise ye solo sise]]:<br />
<br />
:<math>B_{\rm Ham}:\mbox{base de Hamel} \Rightarrow </math>
:<math>\exists \lambda_i \in \mathbb{K} \quad \and \quad \exists x_i \in B_{\rm Ham}: \quad x = \sum_{i=1}^N \lambda_i x_i</math>
 
<br />
En unNun espazo de dimensión de Hamel finita, sepode puedeatoparse encontrar solamente un número finito de [[ortogonal|vectores ortogonalesortogonais]] dosdous a dos,dous; en cambio, cuandocando laa dimensión de Hamel esé infinita, puedenpoden introducirse nos [[espazo de Hilbert|espazos de Hilbert]] ciertascertas "combinaciones linealeslineares infinitas" en términostermos de vectores ortogonalesortogonais. Nun espazo de Hilbert de dimensión infinita se dicedise que un conjuntoconxunto é unha '''base de Hilbert''' oou base ortogonal, sise ye solo sise:
<br />
:<math>B_{\rm Hil}:\mbox{base de Hilbert} \Rightarrow</math>
:<math>\exists \lambda_i \in \mathbb{K} \quad \and \quad \exists x_i \in B_{Hil} \quad \and \quad \langle x_i,x_j \rangle = 0 (i \ne j): \quad x = \sum_{i=1}^\infty \lambda_i x_i</math>
 
<br />
NuevamenteNovamente sucede que todas lasas bases ortogonalesortogonais tienenteñen elo mismomesmo cardinal, por lopolo que se define elo concepto de '''dimensión de Hilbert''' como elo cardinal de cualquiercalquera base de Hilbert.
 
=== Dimensión vectorial ===
[[Ficheiro:Vecteur bases ond et qcq.png|miniatura]]
A dimensión dun espazo vectorial se definedefínese como elo número de elementos oou cardinal dunha base dese espazo. Dado que para todo espazo de Hilbert de dimensión infinita podemospode distinguirdistinguirse entre bases de Hilbert ye de Hamel, podemospódese definir laa dimensión vectorial ordinaria ye laa dimensión vectorial de Hilbert. Se tieneTense que para cualquiercalquera espazo vectorial ''V'', laa relación entre dimensión de Hammel ye dimensión de Hilbert es la siguienteé:
{{Ecuación|<math>\dim_{\rm Ham} V \ge \dim_{\rm Hil} V</math>|1|left}}
 
En espazos de dimensión finita tambiéntamén se puedenpoden definir lasas bases de Hilbert como bases de Hamel ortogonalesortogonais. De hechofeito, para un espazo de dimensión finita, laa dimensión de Hilbert esé igual a laá dimensión de Hamel. En dimensión finita toda base de Hamel esé base de Hilbert ye viceversa, por lopolo que para un espazo de dimensión finita en {{Eqnref|1}} se dadáse siempresempre a igualdade.
-->
 
== Notas ==
{{listaref|grupo=Nota}}
 
== Véxase tambiéntamén ==
=== Bibliografía ===
* {{cita libro| last1=Blass | first1=Andreas | title=Axiomatic set theory | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=Contemporary Mathematics volume 31 | mr=763890 | year=1984 | chapter=Existence of bases implies the axiom of choice | pages=31–33|isbn=0-8218-5026-1}}
* {{cita libro| last1=Brown | first1=William A. | title=Matrices and vector spaces | publisher=M. Dekker | location=New York | isbn=978-0-8247-8419-5 | year=1991}}
* {{cita libro| last1=Lang | first1=Serge | author1-link=Serge Lang | title=Linear algebra | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, Nova York | isbn=978-0-387-96412-6 | year=1987}}
=== Outros artigos ===
* [[Método de ortogonalización de Gram-Schmidt]]
35.681

edicións