35.681
edicións
Diferenzas entre revisións de «Base (álxebra linear)»
Sigo tradución
(Traduzo de es.wiki) |
(Sigo tradución) |
||
|
== Lema de Zorn ==
Mediante o uso do [[lema de Zorn]], é posible probar que todo espazo vectorial posúe unha base. A pesar de que é posible que un espazo vectorial non posúa unha única base, cúmprese que todo par de bases dun
Outras propiedades, consecuencias do [[lema de Zorn]]:
<!--
== Observaciones adicionales ==
# Las bases son conjuntos ordenados. Es decir que si bien {a,b,c} y {b,a,c} generan
# Dado un [[vector]] ''v'' e unha base B de un espazo vectorial V, existe unha única manera de escribir ''v'' como [[combinación lineal]] de los elementos de la base B. Es decir, la representación de un vector nunha base é única.
# De la observación anterior se desprende que las bases no son únicas. En general, suele haber infinitas bases distintas para un
{{Ecuación|<math>\mathcal{B}=\{ (1,0,0); (0,1,0); (0,0,1)\}</math>||left}}
la cual es conocida como base canónica de <math>\mathbb{R}^3</math>.
{{Ecuación|<math>\begin{cases} \mathcal{B}'=\{(2,0,0); (0,1,0); (0,0,1)\} \\
\mathcal{B}''=\{(1,1,1); (1,1,0); (1,0,0)\} \\ \mathcal{B}'''=\{(504,0,0); (0,7,0); (0,0,1/2)\} \end{cases} </math>||left}}
En xeral, toda base de <math>\mathbb{R}^3</math> estará formada por tres vectores linealmente independientes que pertenezcan a <math>\mathbb{R}^3</math>. Cuando el espazo vectorial en
# Si V es un espazo vectorial de [[Dimensión dun espazo vectorial|dimensión]] finita, entonces todas las bases de V serán finitas y tendrán la misma cantidad de elementos.
# No todas las bases tienen un número finito de elementos. Por ejemplo, las bases del espazo vectorial de los polinomios dunha variable tienen infinitos elementos. Unha base posible é a formada por las potencias de X: <math>\mathcal{B} =\{1, X, X^2, X^3,\dots \}</math>
</li>
<li>
{{Ecuación|1= <math>\left\{\begin{array}{lcr}b&=&a \\ d&=&-3c\end{array}\right.</math>}} lo cual implica que el subespazo está conformado por los polinomios de la forma
{{Ecuación|1=<math>p(x) = a x^3 + a x^2 + cx - 3c = a (x^3 + x^2) + c (x-3)</math>.}} Por lo tanto, <math>\{x^3 + x^2, x - 3\}</math> é unha base do espazo ''P''.
== Espazos de dimensión infinita ==
No caso de espazos vectoriais de dimensión infinita, como os que aparecen na [[análise funcional]] compre sinalar algunhas distincións.
=== Bases de Hamel y de Hilbert ===
:<math>B_{\rm Ham}:\mbox{base de Hamel} \Rightarrow </math>
:<math>\exists \lambda_i \in \mathbb{K} \quad \and \quad \exists x_i \in B_{\rm Ham}: \quad x = \sum_{i=1}^N \lambda_i x_i</math>
:<math>B_{\rm Hil}:\mbox{base de Hilbert} \Rightarrow</math>
:<math>\exists \lambda_i \in \mathbb{K} \quad \and \quad \exists x_i \in B_{Hil} \quad \and \quad \langle x_i,x_j \rangle = 0 (i \ne j): \quad x = \sum_{i=1}^\infty \lambda_i x_i</math>
=== Dimensión vectorial ===
[[Ficheiro:Vecteur bases ond et qcq.png|miniatura]]
A dimensión dun espazo vectorial
{{Ecuación|<math>\dim_{\rm Ham} V \ge \dim_{\rm Hil} V</math>|1|left}}
En espazos de dimensión finita
== Notas ==
{{listaref|grupo=Nota}}
== Véxase
=== Bibliografía ===
* {{cita libro| last1=Blass | first1=Andreas | title=Axiomatic set theory | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=Contemporary Mathematics volume 31 | mr=763890 | year=1984 | chapter=Existence of bases implies the axiom of choice | pages=31–33|isbn=0-8218-5026-1}}
* {{cita libro| last1=Brown | first1=William A. | title=Matrices and vector spaces | publisher=M. Dekker | location=New York | isbn=978-0-8247-8419-5 | year=1991}}
* {{cita libro| last1=Lang | first1=Serge | author1-link=Serge Lang | title=Linear algebra | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, Nova York | isbn=978-0-387-96412-6 | year=1987}}
=== Outros artigos ===
* [[Método de ortogonalización de Gram-Schmidt]]
| |||