Independencia linear: Diferenzas entre revisións
Contido eliminado Contido engadido
→Dimensións infinitas: Traduzo de en.wiki |
|||
Liña 28:
Un conxunto de vectores linearmente independente que cobre un espazo vectorial forma unha [[base (álxebra linear)|base]] dese espazo. Por exemplo, o espazo vectorial dos [[polinomio]]s en ''x'' sobre os números reais ten o subconxunto (infinito) {1, ''x'', ''x''<sup>2</sup>, ...} como base.
== Avaliación da independencia linear ==
=== Vectores en R<sup>2</sup> ===
<!---
'''Three vectors:''' Consider the set of vectors ''v''<sub>1</sub> = (1, 1), ''v''<sub>2</sub> = (−3, 2) and ''v''<sub>3</sub> = (2, 4), then the condition for linear dependence seeks a set of non-zero scalars, such that
::<math> a_1 \begin{Bmatrix} 1\\1\end{Bmatrix} + a_2 \begin{Bmatrix} -3\\2\end{Bmatrix} + a_3 \begin{Bmatrix} 2\\4\end{Bmatrix} =\begin{Bmatrix} 0\\0\end{Bmatrix},</math>
or
::<math> \begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}\begin{Bmatrix} a_1\\ a_2 \\ a_3 \end{Bmatrix}= \begin{Bmatrix} 0\\0\end{Bmatrix}.</math>
[[Row reduction|Row reduce]] this matrix equation by subtracting the first row from the second to obtain,
::<math> \begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 0 & 5 & 2 \end{bmatrix}\begin{Bmatrix} a_1\\ a_2 \\ a_3 \end{Bmatrix}= \begin{Bmatrix} 0\\0\end{Bmatrix}.</math>
Continue the row reduction by (i) dividing the second row by 5, and then (ii) multiplying by 3 and adding to the first row, that is
::<math> \begin{bmatrix} 1 & 0 & 16/5 \\ 0 & 1 & 2/5 \end{bmatrix}\begin{Bmatrix} a_1\\ a_2 \\ a_3 \end{Bmatrix}= \begin{Bmatrix} 0\\0\end{Bmatrix}.</math>
We can now rearrange this equation to obtain
::<math> \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{Bmatrix} a_1\\ a_2 \end{Bmatrix}= \begin{Bmatrix} a_1\\ a_2 \end{Bmatrix}=-a_3\begin{Bmatrix} 16/5\\2/5\end{Bmatrix}.</math>
which shows that non-zero ''a''<sub>''i''</sub> exist such that ''v''<sub>3</sub> = (2, 4) can be defined in terms of ''v''<sub>1</sub> = (1, 1), ''v''<sub>2</sub> = (−3, 2). Thus, the three vectors are linearly dependent.
'''Two vectors:''' Now consider the linear dependence of the two vectors ''v''<sub>1</sub> = (1, 1), ''v''<sub>2</sub> = (−3, 2), and check,
::<math> a_1 \begin{Bmatrix} 1\\1\end{Bmatrix} + a_2 \begin{Bmatrix} -3\\2\end{Bmatrix} =\begin{Bmatrix} 0\\0\end{Bmatrix},</math>
or
::<math> \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\begin{Bmatrix} a_1\\ a_2 \end{Bmatrix}= \begin{Bmatrix} 0\\0\end{Bmatrix}.</math>
The same row reduction presented above yields,
::<math> \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{Bmatrix} a_1\\ a_2 \end{Bmatrix}= \begin{Bmatrix} 0\\0\end{Bmatrix}.</math>
This shows that ''a''<sub>i</sub> = 0, which means that the vectors ''v''<sub>1</sub> = (1, 1) and ''v''<sub>2</sub> = (−3, 2) are linearly independent.
--->
=== Vectores en R<sup>4</sup> ===
<!---
In order to determine if the three vectors in '''R'''<sup>4</sup>,
::<math> \mathbf{v}_1= \begin{Bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{Bmatrix}, \mathbf{v}_2=\begin{Bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{Bmatrix}, \mathbf{v}_3=\begin{Bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{Bmatrix}. </math>
are linearly dependent, form the matrix equation,
::<math>\begin{bmatrix}1&7&-2\\4& 10& 1\\2&-4&5\\-3&-1&-4\end{bmatrix}\begin{Bmatrix} a_1\\ a_2 \\ a_3 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix}0\\0\\0\\0\end{Bmatrix}.</math>
Row reduce this equation to obtain,
::<math> \begin{bmatrix} 1& 7 & -2 \\ 0& -18& 9\\ 0 & 0 & 0\\ 0& 0& 0\end{bmatrix} \begin{Bmatrix} a_1\\ a_2 \\ a_3 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix}0\\0\\0\\0\end{Bmatrix}.</math>
Rearrange to solve for v<sub>3</sub> and obtain,
::<math> \begin{bmatrix} 1& 7 \\ 0& -18& \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} a_1\\ a_2 \end{Bmatrix} = -a_3\begin{Bmatrix}-2\\9\end{Bmatrix}.</math>
This equation is easily solved to define non-zero ''a''<sub>i</sub>,
::<math> a_1 = -3 a_3 /2, a_2 = a_3/2,
</math>
where ''a''<sub>3</sub> can be chosen arbitrarily. Thus, the vectors ''v''<sub>1</sub>, ''v''<sub>2</sub> and ''v''<sub>3</sub> are linearly dependent.
--->
=== Métodos alternativos empregando determinantes ===
Un método alternativo pode atoparse co feito de que ''n'' vectores en <math>\mathbb{R}^n</math> son linearmente independentes [[se e só se]] o [[determinante (matemáticas)|determinante]] da [[matriz (matemáticas)|matriz]] formada tomando os vectores como columnas non é cero.
Neste caso, a matriz formada polos vectores é
:<math>A = \begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix} . </math>
Pódese escribir como combinación linear das columnas como
:<math> A \Lambda = \begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\lambda_1 \\ \lambda_2 \end{bmatrix} . </math>
Interesa saber se ''A''Λ = '''0''' para algún vector non nulo Λ. Isto depende do determinante de ''A'', que é
:<math> \det A = 1\cdot2 - 1\cdot(-3) = 5 \ne 0 . </math>
Dado que o [[determinante (matemáticas)|determinante]] non é nulo, os vectores (1, 1) e (−3, 2) son linearmente independentes.
De outro xeito, se se teñen ''m'' vectores de ''n'' coordenadas, con ''m'' < ''n''. Entón ''A'' é unha matriz ''n''×''m'' e Λ é un vector columna con ''m'' elementos, e de novo interesa se ''A''Λ = '''0'''. Como se viu antes, isto é equivalente a unha listaxe de ''n'' ecuacións. Considérense as primeiras ''m'' filas de ''A'' as primeiras ''m'' ecuacións; algunha solución da lista completa de ecuacións debe ser tamén válida para a lista reducida. De feito, se 〈''i''<sub>1</sub>,...,''i''<sub>''m''</sub>〉está nalgunha lista de ''m'' filas, entón a ecuación debe ser verdadeira para esas filas.
:<math> A_{{\lang i_1,\dots,i_m} \rang} \Lambda = \bold{0} . </math>
Ademais, o recíproco é verdadeiro, é dicir, pódese comprobar se os ''m'' vectores son linearmente dependentes comprboando se
:<math> \det A_{{\lang i_1,\dots,i_m} \rang} = 0 </math>
para todas as posibles listas de ''m'' filas. (No caso de que ''m'' = ''n'', require só o determinante, como arriba. Se ''m'' > ''n'', entón é un teorema que os vectores deben ser linearmente dependentes.) Este feito é avaliable en teoría, mais na práctica disponse de métodos máis eficientes.
=== Máis vectores que a dimensión ===
Se hai máis vectores que a dimensión, os vectores son linearmente dependentes. Isto vén ilustrado no exemplo superior de tres vectores en '''R'''<sup>2</sup>.
== Notas ==
| |||