Independencia linear: Diferenzas entre revisións
Contido eliminado Contido engadido
Traduzo de en.wiki |
Traduzo de en.wiki |
||
Liña 5:
Un [[espazo vectorial]] pode ter dimensión finita ou infinita dependendo do número de vectores linearmente independentes nunha [[base (álxebra linear)|base]]. A definición de dependencia linear e a posibilidade de determinar se un subconxunto de vectores nun espazo vectorial é linearmente dependente son fundamentais para atopar unha base nese espazo.
== Definición ==
Dise que os vectores nun subconxunto <math>S=\{\vec v_1,\vec v_2,\dots,\vec v_n\}</math> dun [[espazo vectorial]] ''V'' son linearmente dependentes se existe un número finito de vectores distintos <math>\vec v_1,\vec v_2,\dots,\vec v_k</math> en <math>S</math> e [[escalar]]es <math>a_1,a_2,\dots,a_k</math>, non todos nulos, tales que
:<math>a_1\vec v_1+a_2\vec v_2+\cdots+a_k\vec v_k= \vec 0,</math>
onde <math>\vec 0</math> denota o vector cero.
Cómpre sinalar que se non todos os escalares son nulos, entón polo menos un non é cero, por exemplo <math>a_1</math>, e neste caso a igualdade pode escribirse da forma
:<math>\vec v_1=\frac{-a_2}{a_1}\vec v_2+\cdots+\frac{-a_k}{a_1}\vec v_k.</math>
Así, <math>\vec v_1</math> aparece como combinación linear dos demais vectores.
Dise que os vectores dun conxunto <math>T=\{\vec v_1,\vec v_2,\dots,\vec v_n\}</math> son linearmente independentes se a igualdade
:<math>a_1\vec v_1+a_2\vec v_2+\cdots+a_n\vec v_n= \vec 0,</math>
só pode ser satisfeita con <math>a_i=0</math> para <math>i=1,\dots,n</math>. Isto implica que ningún vector do conxunto se pode representar como combinación linear dos restantes, é dicir, un conxunto de vectores é linearmente independente se a única representación de <math>\vec 0</math> como combinación linear dos seus vectores é a representación trivial na que todos os escalares <math>a_i</math> son cero.<ref>{{cita libro|last=Friedberg, Insel, Spence|first=Stephen, Arnold, Lawrence|title=Linear Algebra|publisher=Pearson, 4th Edition|isbn=0130084514|pages=48–49}}</ref>
=== Dimensións infinitas ===
Para permitir que o número de vectores linearmente independentes nun espazo vectorial sexa [[infinito numerables]], resulta útil definir a dependencia linear como segue:
Sexa ''V'' un espazo vectorial sobre un [[corpo (álxebra)|corpo]] ''K'', e sexa {''v''<sub>''i''</sub> | ''i''∈''I''} unha familia de elementos de ''V''. A familia é linearmente dependente sobre ''K'' se existe unha familia {''a''<sub>''j''</sub> | ''j''∈''J''} de elementos de ''K'', non todos cero, tales que
:<math> \sum_{j \in J} a_j v_j = 0 </math>
onde o conxunto índice ''J'' é un subconxunto non baleiro de ''I''.
Un conxunto ''X'' de elementos de ''V'' é linearmente independente se a familia correspondente {''x''}<sub>'''x'''∈''X''</sub> é linearmente independente. Equivalentemente, unha familia é dependente se un membro es combinación linear dos demais da familia. O caso trivial da familia baleira debe considerarse como linearmente independente para aplicar os teoremas.
Un conxunto de vectores linearmente independente que cobre un espazo vectorial forma unha [[base (álxebra linear)|base]] dese espazo. Por exemplo, o espazo vectorial dos [[polinomio]]s en ''x'' sobre os números reais ten o subconxunto (infinito) {1, ''x'', ''x''<sup>2</sup>, ...} como base.
== Notas ==
{{Listaref}}
== Véxase tamén ==
=== Ligazóns externas ===
* [http://mathworld.wolfram.com/LinearlyDependentFunctions.html Linearly Dependent Functions] at WolframMathWorld.
* [http://people.revoledu.com/kardi/tutorial/LinearAlgebra/LinearlyIndependent.html Tutorial and interactive program] on Linear Independence.
* [https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors_and_spaces/linear_independence/v/linear-algebra-introduction-to-linear-independence Introduction to Linear Independence] at KhanAcademy.
{{Control de autoridades}}
| |||