Función continua: Diferenzas entre revisións
Contido eliminado Contido engadido
mSen resumo de edición |
m Arranxos varios, replaced: {{cite book → {{Cita libro (7), {{cite web → {{Cita web |
||
Liña 4:
== Historia ==
Unha primeira forma da definición (ε, δ) de continuidade foi dada por [[Bernard Bolzano]] en 1817. [[Augustin-Louis Cauchy]] definiu a continuidade de <math>y=f(x)</math> como segue: un incremento infinitamente pequeno <math>\alpha</math> da variable independente ''x'' sempre produce un cambio infinitamente pequeno <math>f(x+\alpha)-f(x)</math> da variable dependente ''y''. Cauchy definiu cantitades infinitamente pequenas en termos de cantidades variables, e a súa definición de continuidade é paralela á definición infinitesimal empregada na actualidade. A definición e a distinción entre continuidade nun punto e [[continuidade uniforme]] foi dada por primeira vez por Bolzano na década de 1830 mais a súa obra non foi publicada ata cen anos despois. Como Bolzano,<ref>{{
[[Eduard Heine]] achegou a primeira definición de continuidade uniforme en 1872, pero baseou estas ideas en traballos de [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] de 1854.<ref>{{
== Funcións reais dunha variable real ==
Liña 37:
Se ''x''<sub>0</sub> é [[punto de acumulación]] do dominio da función entón é continua en ''x''<sub>0</sub> se e só se <math>\lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0) </math>. Cando ''x''<sub>0</sub> non é de acumulación do dominio, a función é continua nese punto.
No caso das aplicacións de <math> \mathbb{R} </math> en <math> \mathbb{R} </math>, e dunha maneira máis rigorosa dise que unha función ''f'' é continua nun punto ''x''<sub>1</sub> se existe ''f''(''x''1), se existe o límite de ''f''(''x'') cando ''x'' tende a ''x''<sub>1</sub> pola dereita, se existe o [[Límite matemático|límite]] de <math /> (x) cando x tende a ''x''<sub>1</sub> pola esquerda, e ademais ambos coinciden con ''f''(''x''<sub>1</sub>).<ref>{{
: <math>
{ \color{Blue}(7)} \;
Liña 187:
: <math> f(x) = \frac {1}{x} </math>
Esta función é unha [[Hipérbole (xeometría)|hipérbola]] composta por dous tramos. ''x'' < 0 e '''x''' > 0. Como se ve, efectivamente é continua en todo o [[Dominio de definición|dominio]] <math> \left(- \infty ,0 \right) \cup \left( 0 , + \infty \right) </math> porque non está definida en ''x''= 0. Se se estende o dominio da función a ℝ (dándolle un valor arbitrario a ''f''(0)) a función será descontinua.<ref>{{
== Teoremas sobre funcións continuas ==
|