Función continua: Diferenzas entre revisións

Contido eliminado Contido engadido
Jglamela (conversa | contribucións)
Jglamela (conversa | contribucións)
Máis de en.wiki
Liña 3:
 
A continuidade de funcións é un dos conceptos principais da [[análise matemática]] e da [[topoloxía]]
 
== Historia ==
Unha primeira forma da definición (ε, δ) de continuidade foi dada por [[Bernard Bolzano]] en 1817. [[Augustin-Louis Cauchy]] definiu a continuidade de <math>y=f(x)</math> como segue: un incremento infinitamente pequeno <math>\alpha</math> da variable independente ''x'' sempre produce un cambio infinitamente pequeno <math>f(x+\alpha)-f(x)</math> da variable dependente ''y''. Cauchy definiu cantitades infinitamente pequenas en termos de cantidades variables, e a súa definición de continuidade é paralela á definición infinitesimal empregada na actualidade. A definición e a distinción entre continuidade nun punto e [[continuidade uniforme]] foi dada por primeira vez por Bolzano na década de 1830 mais a súa obra non foi publicada ata cen anos despois. Como Bolzano,<ref>{{cite book|last1=Bolzano|first1=Bernard|title=Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewaehren, wenigstens eine reele Wurzel der Gleichung liege|publisher=Haase|location=Prague|date=1817}}</ref> [[Karl Weierstrass]]<ref>{{cite book| last1=Dugac | first1=Pierre | title=Eléments d'Analyse de Karl Weierstrass | journal=Archive for History of Exact Sciences | year=1973 | volume=10 | pages=41–176 | doi=10.1007/bf00343406}}</ref> negou a continuidade dunha función nun punto ''c'' a menos que estivese definida a ambos os lados de ''c'', mais [[Édouard Goursat]]<ref>{{cite book| last1=Goursat | first1=E. | title=A course in mathematical analysis | publisher=Ginn | location=Boston | year=1904 | page=2}}</ref> permitía que unha función estivese definida só nun lado de ''c'', e [[Camille Jordan]]<ref>{{cite book| last1=Jordan | first1=M.C. | title=Cours d'analyse de l'École polytechnique | publisher=Gauthier-Villars | location=Paris | edition=2nd |year=1893 | volume=1|page=46}}</ref> incluso se a función estaba definida só no punto ''c''. Todas estas definicións non equivalentes de continuidade nun punto aínda se empregan.<ref>{{cite book|last1=Harper|first1=J.F.|title=Defining continuity of real functions of real variables|journal=BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics|year=2016|doi=10.1080/17498430.2015.1116053|pages=1–16}}</ref>
 
[[Eduard Heine]] achegou a primeira definición de continuidade uniforme en 1872, pero baseou estas ideas en traballos de [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] de 1854.<ref>{{cite book|last1=Rusnock|first1=P.|last2=Kerr-Lawson|first2=A.|title=Bolzano and uniform continuity|journal=Historia Mathematica|volume=32|year=2005|pages=303–311|issue=3|doi=10.1016/j.hm.2004.11.003}}</ref>
 
== Funcións reais dunha variable real ==
Liña 33 ⟶ 38:
Se ''x''<sub>0</sub> é [[punto de acumulación]] do dominio da función entón é continua en ''x''<sub>0</sub> se e só se <math>\lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0) </math>. Cando ''x''<sub>0</sub> non é de acumulación do dominio, a función é continua nese punto.
 
No caso das aplicacións de <math> \mathbb{R} </math> en <math> \mathbb{R} </math>, e dunha maneira máis rigorosa dise que unha función ''f'' é continua nun punto ''x''<sub>1</sub> se existe ''f''(''x''1), se existe o límite de ''f''(''x'') cando ''x'' tende a ''x''<sub>1</sub> pola dereita, se existe o [[Límite matemático|límite]] de <math /> (x) cando x tende a ''x''<sub>1</sub> pola esquerda, e ademais ambos coinciden con ''f''(''x''<sub>1</sub>).<ref>{{Citation | last1=Lang | first1=Serge | author1-link=Serge Lang | title=Undergraduate analysis | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlín, Nova York | edition=2nd | series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]] | isbn=978-0-387-94841-6 | year=1997}}, section II.4</ref>
: <math>
{ \color{Blue}(7)} \;
Liña 183 ⟶ 188:
: <math> f(x) = \frac {1}{x} </math>
 
Esta función é unha [[Hipérbole (xeometría)|hipérbola]] composta por dous tramos. ''x'' < 0 e '''x''' > 0. Como se ve, efectivamente é continua en todo o [[Dominio de definición|dominio]] <math> \left(- \infty ,0 \right) \cup \left( 0 , + \infty \right) </math> porque non está definida en ''x''= 0. Se se estende o dominio da función a ℝ (dándolle un valor arbitrario a ''f''(0)) a función será descontinua.<ref>{{cite web | url=http://math.mit.edu/~jspeck/18.01_Fall%202014/Supplementary%20notes/01c.pdf | title=Continuity and Discontinuity | last1=Speck | first1=Jared | year=2014 | page=3 | access-date=2-9-2016| website=MIT Math}}</ref>)
 
== Teoremas sobre funcións continuas ==