|
== Propiedades ==
1. Se <math>\ \operatorname{mcd}(a,b)=d</math> entón <math>\ \operatorname{mcd} \left(\frac{a}{d}, \frac{b}{d}\right)= 1 </math>
1. Se
2. Se <math>\ m</math> é un enteiro, <math>\ \operatorname{mcd}(ma,mb)= |m|\cdot \operatorname{mcd}(a,b)</math>
3. Se <math>\ p</math> é un número primo, entón <math>\ \operatorname{mcd}(p,m)=p</math> o bien <math>\ \operatorname{mcd}(m,p)=1</math>
mcd
4. Se <math>d=\operatorname{mcd}(m,n),\ m=d'm'',\ n=d'n'',\ \operatorname{mcd}(m'',n'')=1</math>, entón <math>\ d=d' </math>
5. Se <math>\ d'</math> é un divisor común de <math>\ m</math> e <math>\ n</math>, entón <math>d'\mid \operatorname{mcd}(m,n)</math>
(
6. Se <math>\ m=nq+r</math>, entón <math>\operatorname{mcd}(m,n)=\operatorname{mcd}(n,r)</math>
a ,
7. Se <math>\ m=p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}\;\, \mathrm y \;\, n=p_1^{\beta_1}\cdots p_k^{\beta_k},\;\, \alpha_i, \beta_i\geq 0, \;\, i=1,...,k</math>, entón <math> \operatorname{mcd}(m,n)=p_1^{\operatorname{min}(\alpha_1,\beta_1)}\cdots p_k ^ {\operatorname{min} (\alpha_k, \beta_k)} </math> Esta última propiedade indica que o máximo divisor común de dous números é o produto dos seus factores primos comúns elevados ao menor expoñente.
b
)
=
<math />
{\<math />ispl<math />ystyle \ \operatorname {<math />} (a,<math />)=d}
entón
mcd
<math />
(
a
d ,
b
d
)
=
<math />
{\displaystyle \ \operatorname {<math /><nowiki>} \left({\frac {a}{d}},{\frac {b}{d}}\right)=1}</nowiki><math />
2. Si
m
{<math />}
é un enteiro,
<math />cd
(
<math />
<math /> ,
<math />
b
)
=
<nowiki>|</nowiki>
m
<math />
<math />
<math />
<math />
(
a ,
<math />
)
{\displaystyle \ \operatorname {mcd} (ma,mb)=|m|\cdot \operatorname {<math />} (a,b)}<math />
3. Si
p
{<math />}
é un número primo, entón
mcd
(
<math />
,
m
)
=
p
{\displaystyle \ \operatorname {<math />} (p,m)=p}
ou ben
mcd
<math />
(
m
,
p
)
=
<math />
{\displaystyle \ \operatorname {<math />} (m,p)=1}<math />
4. Se
d
=
mc<math />
(
<math />
,
n
)
,
<math />
=
<math />
′
<math />
″
,
<math />
=
<math />
<math />
<math />
<math />
,
mc<math />
<math />
(
m
<math />
,
<math />
<math />
)
=
<math />
{<math /> d=\operatorname {mcd} (m,n),\ m=d'm<nowiki>''</nowiki>,\ n=d'n<nowiki>''</nowiki>,\ \operatorname {<math />} (m<nowiki>''</nowiki>,n<nowiki>''</nowiki>)=1}
, entón
d
=
d
<math />
{\displaystyle \ d=d'}<math />
5. Si
d
′
{\<math />isplaystyle \ d'}
é un divisor comú<math />n de
<math />
{\displaystyle \ <math />}
e
<math />
{<math />}
, entón
d
<math />
<math />
mcd
<math />
(
m
,
n
)
{\displaystyle d'\mid \operatorname {<math />} (m,n)}
[[Xeometría|Xeometricamente]], o máximo divisor común de ''a'' e ''b'' é o número de puntos de coordenadas enteiras que hai no segmento que une os puntos (0, 0) e (''a'', ''b''), excluíndo o (0, 0).
6. Se
m
=
n
<math />
<math />
r
{<math /> \ <math />=<math />q+<math />}
, e<math />tón
mcd
(
m
,
n
)
=
<math />
<math />
(
n
,
r
)
{\displaystyle \operatorname {mcd} (m,n)=\operatorname {<math />} (n,r)}<math />
7. Se
<math />
=
p
1
α
<math />
⋯
<math />
k
<math />
<math />
e
<math />
=
<math />
<math />
β
<math />
<math />
<math />
<math />
<math />
<math />
,
<math />
<math />
,
<math />
<math />
<math />
<math />
,
i
=
<math />
,
.
.
.
,
<math />
{\displaystyl<math /><nowiki> \ m=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}\;\,\mathrm {e} \;\,n=p_{1}^{\beta _{1}}\cdots p_{k}^{\beta _{k}},\;\,\alpha _{i},\beta _{i}\geq 0,\;\,i=1,...,k}
, entón:</nowiki>
A última propiedade indica que o máximo divisor común de dous números é o produto dos seus factores primos comúns elevados ao menor expoñente.
[[Xeometría|Xeométricamente]], o máximo divisor común de ''a'' e ''b'' é o número de puntos de coordenadas enteiras que hai no segmento que une os puntos (0,0) e (''a'',''b''), excluíndo o (0,0).
=== Proposicións ===
|
