Diferenzas entre revisións de «Cálculo diferencial»

m (→‎Recta tanxente a unha función nun punto: *despreciable->desprezable)
 
=== Aproximación local de Taylor ===
É posible entón aproximar mediante a súa recta tanxente unha función derivable localmente nun punto. Se se cumpre que a fu<math />ción é suficientemente [[Función continuamente diferenciable|suave]] no punto ou dominio de estudo (isto é, a función é de clase <math>\scriptstyle C^n</math>), entón pódese aproximar a función non por polinomios de grao un, senón por [[Ecuación de segundo grao|polinomios de grao dous]], tres, catro e sucesivamente. Esta aproximación recibe o nome de [[desenvolvemento polinómico de Taylor]] e defínese da seguinte maneira:
:<math>P(x) = f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots + \frac{f^{n}(a)}{n!}(x-a)^n</math>
C
O''n''deonde ''P''(''x'') é o polinomio de grao ''n '' que mellor aproxima a función no punto ''x=a''. Cómpre notar que, se se avalía ''P''(''x'') en ''x=a'', todos os termos agás ''f''(''a'') se anulan; logo, ''P(a) = f(a)''. Nótese tamén que a ecuación da recta tanxente do apartado anterior corresponde ao caso no que ''n''=1.
n
{\displaystyle \scriptstyle C^{n}}
), entón pódese aproximar a función non por polinomios de grao un, senón por [[Ecuación de segundo grao|polinomios de grao dous]], tres, catro e sucesivamente. Esta aproximación recibe o nome de [[desenvolvemento polinómico de Taylor]] e defínese da seguinte maneira:
 
C''a''ndoCando ''a'' = 0, o desenvolvemento denomínase [[Serie de Taylor|desenvolvemento de MacLaurin]], que é o que se emprega a maioría das veces na práctica. Exemplos de desenvolvementos importantes de MacLaurin son:
O''n''de ''P''(''x'') é o polinomio de grao ''n ''que mellor aproxima a función no punto ''x=a''. Cómpre notar que, se se avalía ''P''(''x'') en ''x=a'', todos os termos agás ''f''(''a'') se anulan; logo, ''P(a) = f(a)''. Nótese tamén que a ecuación da recta tanxente do apartado anterior corresponde ao caso no que ''n''=1.
 
:<math>e^x \approx 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!}+ \cdots </math>
C''a''ndo ''a'' = 0, o desenvolvemento denomínase [[Serie de Taylor|desenvolvemento de MacLaurin]], que é o que se emprega a maioría das veces na práctica. Exemplos de desenvolvementos importantes de MacLaurin son:
 
:<math>\sin\left( x \right) \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots</math>
O símbolo
 
:<math>\ln(1+x)\approx x -\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\frac{x^4}4+\cdots</math>
<math />
 
O símbolo <math>\approx</math> denota [[aproximación]], non [[Igualdad matemática|igualdade]]. Se a función que se quere aproximar é [[Función continuamente diferenciable|infinitamente derivable]] (<math>\scriptstyle C^\infty</math>) e se agregan infinitos termos ao desenvolvemento, entón <math>\approx</math> convértese en <math>=</math> e o desenvolvemento anterior convértese nunha [[serie de Taylor]]. As funcións que son iguais á súa serie de Taylor denomínanse [[Función analítica|funcións analíticas]].
{<math /> }
denota [[aproximación]], non [[Igualdad matemática|igualdade]], Se a función que se quere aproximar é [[Función continuamente diferenciable|infinitamente derivable]] (
C
<math />
<nowiki>{\displaystyle \scriptstyle C^{\infty }}
) e agréganse infinitos termos ao desenvolvemento, entón </nowiki><math />
{<math /> }
convértese nun
=
{<math /> =}
e o desenvolvemento anterior convértese nunha [[serie de Taylor]]. As funcións que son iguais á súa serie de Taylor denomínanse [[Función analítica|funcións analíticas]].
 
=== Cálculo de puntos ===
29.358

edicións