Diferenzas entre revisións de «Cálculo diferencial»

 
== Diferenciación e diferenciabilidade ==
Unha función dunha variable é diferenciable nun punto ''x'' se existe a súa derivada nese punto; unha función é diferenciable nun intervalo se o é en cada punto ''x'' pertencente ao [[Intervalo (matemáticas)|intervalo]]. Se unha función non é ''c''ontinuacontinua en ''c'', entón non pode ser diferenciable en ''c''; con todo, aínda que unha función sexa [[Función continua|continua]] en ''c'', pode non ser diferenciable. É dicir, toda función diferenciable nun punto ''c'' é continua en ''c'', pero non toda función continua en ''c'' é diferenciable en ''c'' (como ''f''(''x'') = |x| é continua, pero non diferenciable en ''x'' = 0).
Unha función dunha variable é diferenciable nun punto
x
{\displaystyle <math />}
se existe a súa derivada nese punto; unha función é diferenciable nun intervalo se o é en cada punto
<math />
{<math />}
pertencente ao [[Intervalo (matemáticas)|intervalo]]. Se unha función non é ''c''ontinua en ''c'', entón non pode ser diferenciable en ''c''; con todo, aínda que unha función sexa [[Función continua|continua]] en ''c'', pode non ser diferenciable. É dicir, toda función diferenciable nun punto ''c'' é continua en ''c'', pero non toda función continua en ''c'' é diferenciable en ''c'' (como ''f''(''x'') = |x| é continua, pero non diferenciable en ''x'' = 0).
 
=== Noción de derivada ===
As derivadas defínense tomando o [[Límite matemático|límite]] da pendente das rectas [[secante]]s segundo se van aproximando á recta [[tanxente]]. É difícil calcular directamente a pendente da recta tanxente dunha función porque só se coñece un punto desta, o punto onde ten que ser [[tanxente]] á función. Por iso, aproxímase a recta tangente por rectas secantes. Cando se tome o [[Límite matemático|límite]] das pendentes das secantes próximas, obterase a pendente da recta tanxente.
 
Para obter estas pendentes, tómase un número arbitrariamente pequeno que se denominará ''h''. ''h'' representa unha pequena variación en ''x'', e pode ser tanto positivo como negativo. A pendente da recta entre os puntos <math>\scriptstyle (x, f(x))\,</math> e <math>\scriptstyle (x+h, f(x+h))\,</math> é
{{ecuación|<math>f(x+h)-f(x)\over h</math>||left}}
(
x
,
f
(
<math />
)
)
{<math /> (<math />,<math />(<math />))\,}
e
(
x
+
h
,
f
(
x
<math />
<math />
)
)
{\displaystyle \scriptstyle (x+h,f(x+h))\,}
é<math />
 
Esta expresión é un cociente diferencial de [[Isaac Newton|Newton]]. A derivada de ''f'' en ''x'' é o límite do valor do cociente diferencial conforme as liñas secantes se achegan máis á tanxente:
{{ecuación|
<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}</math>
||left}}
 
Se a derivada de ''f'' existe en cada punto ''x'', é posible entón definir a derivada de ''f'' como a función que ten como valor no punto ''x'' a derivada de ''f'' en ''x''.
 
=== O cociente diferencial alternativo ===
A derivada de ''f''(''x'') (tal como a definiu Newton) describiuse como o límite, segundo ''h'' se aproxima a cero. Unha explicación alternativa da derivada pode interpretarse a partir do cociente de Newton. Se se emprega a fórmula anterior, a derivada en ''c'' é igual ao límite segundo ''h'' se aproxima a cero de ''[f(c + h) - f(c)] / h''. Se se considera que ''h'' = ''x'' - c (polo tanto, ''c'' + ''h'' = ''x''), entón ''x'' aproxímase a ''c'' (segundo ''h'' tende a cero). Así, a derivada é igual ao límite ''c''onforme ''x'' apro''x''ímaseaproxímase a ''c'', de ''[f(x) - f(c)] / (x - c)''. Esta definición utilízase para unha [[Proba matemática|demostración]] parcial da [[Regla de la cadena|regra da cadea]].
 
=== Funcións de varias variables ===
Para funcións de varias variables <math>f:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</math>, as [[Función diferenciable|condicións de diferenciabilidade]] son máis estritas e requiren máis condicións á parte da existencia de derivadas parciais. En concreto, requírese a existencia dunha aproximación linear á función na veciñanza dun punto. Dada unha base vectorial, esta aproximación linear vén dada pola [[matriz jacobiana]]:
Para <math />funció<math />s de va<math />rias variables
{{ecuación|
f
<math>\lim_{\| \mathbf{h} \|\to \mathbf{0}} \frac{\mathbf{f}(\mathbf{x_0}+\mathbf{h}) - \mathbf{f}(\mathbf{x_0}) - \mathbf{J}(\mathbf{x_0})\mathbf{h}}{\| \mathbf{h} \|} = \mathbf{0}</math>
:
||left}}
<math />
<math />
<math />
R
n
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}
, as [[Función diferenciable|condicións de diferenciabilidade]] son máis estritas e requiren máis condicións á parte da existencia de derivadas parciais. En concreto, requírese a existencia dunha aproximación linear á función na veciñanza dun punto. Dada unha base vectorial, esta aproximación linear vén dada pola [[matriz jacobiana]]:
 
== Historia ==
31.984

edicións