Diferenzas entre revisións de «Cálculo diferencial»

Arranxos
(En uso)
(Arranxos)
{{enuso}}
O '''cálculo diferencial''' é unha parte da [[análise matemática]] que consiste no estudo de como cambian as funcións cando cambian as súas variables. O principal obxecto de estudo no cálculo diferencial é a [[Derivada|derivada.]]. Unha noción estreitamente relacionada é a de diferenza
 
O estudo do cambio dunha función é de especial interese para o cálculo diferencial, en concreto o caso no que o cambio das variables é infinitesimal, isto é, cando devandito cambio tende a cero (faise tan pequeno como se desexe). E é que o cálculo diferencial se apoia constantemente no concepto básico do [[Límite matemático|límite.]]. O paso ao límite é a principal ferramenta que permite desenvolver a teoría do cálculo diferencial e a que o diferencia claramente da álxebra.
 
Dende o punto de vista matemático das [[Función|funciónsfunción]]s e a [[xeometría]], a derivada dunha función nun certo [[Punto (xeometría)|punto]] é unha medida da [[taxa]] na cal unha función cambia segundo un [[Variábel|argumento]] se modifica. Isto é, unha derivada involucra, en termos matemáticos, unha [[Tasa de cambio|taxa de cambio.]]. Unha derivada é o cálculo das pendentes instantáneas de
<math /> (
{<math />}
pertencente ao [[Intervalo (matemáticas)|intervalo.]]<math />. Se unha función non é ''c''ontinua en ''c'', entón non pode ser diferenciable en ''c''; con todo, aínda que unha función sexa [[Función continua|continua]] en ''c'', pode non ser diferenciable. É dicir, toda función diferenciable nun punto ''c'' é continua en ''c'', pero non toda función continua en ''c'' é diferenciable en ''c'' (como ''f''([[Valor absoluto|''x'']]) = |x| é continua, pero non diferenciable en ''x'' = 0).
 
=== Noción de derivada ===
[[Ficheiro:Derivative.svg|dereita|miniatura|Recta secante entre os puntos ''f(x+h)'' e ''f(x)''.]]
As derivadas defínense tomando o [[Límite matemático|límite]] da pendente das rectas [[Secante|secantessecante]]s segundo se van aproximando á recta [[Tanxente|tanxente.]]. É difícil calcular directamente a pendente da recta tanxente dunha función porque só se coñece un punto desta, o punto onde ten que ser [[tanxente]] á función. Por iso, aproxímase a recta tangente por rectas secantes. Cando se tome o [[Límite matemático|límite]] das pendentes das secantes próximas, obterase a pendente da recta tanxente.
 
Para obter estas pendentes, tómase un número arbitrariamente pequeno que se denominará ''h''. ''h'' representa unha pequena variación en ''x'', e pode ser tanto positivo como negativo. A pendente da recta entre os puntos
é<math />
 
Esta expresión é un cociente diferencial de [[Isaac Newton|Newton.]]. A derivada de ''f'' en ''x'' é o límite do valor do cociente diferencial conforme as liñas secantes se achegan máis á tanxente:
 
Se a derivada de ''f'' existe en cada punto ''x'', é posible entón definir a derivada de ''f'' como a función que ten como valor no punto ''x'' a derivada de ''f'' en ''x''.
 
== Historia ==
Os problemas comúns que deron orixe ao [[cálculo infinitesimal]] comezaron a exporse na época clásica da [[Grecia antiga|antiga Grecia]] (século III a.C.), con conceptos de tipo xeométrico como o [[Problema de Apolonio|problema da tanxente a unha curva]] de [[Apolonio de Perge]], pero non se atoparon métodos sistemáticos de resolución até o [[século XVII]], grazas aos traballos de [[Isaac Newton]] e de [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfried Wilhelm Leibniz.]].
 
Eles dous sintetizaron dous conceptos e métodos usados polos seus predecesores no que hoxe se denomina «diferenciación» e «integración». Desenvolveron regras para manipular as derivadas ([[Reglas de derivación|regras de derivación]]) e demostraron que ambos os conceptos eran inversos ([[teorema fundamental do cálculo]]).
 
Desde o [[século XVII]], moitos matemáticos contribuíron ao cálculo diferencial. No [[século XIX]], o cálculo tomou un estilo máis rigoroso, debido a matemáticos como [[Augustin Louis Cauchy]] (1789–1857), [[Bernhard Riemann]] (1826–1866), e [[Karl Weierstrass]] (1815–1897). Foi tamén durante este período cando o cálculo diferencial xeneralizouse ao [[Espazoespazo euclidiano|espazo euclídeo]] e ao [[Plano complejo|plano complexo]].
 
== Aplicacións importantes do cálculo diferencial ==
A recta tanxente a unha función ''f''(''x'') é como se viu o límite das rectas secantes cando un dos puntos de corte da secante coa función se fai tender cara ao outro punto de corte. Tamén pode definirse a recta tanxente como a mellor aproximación linear á función no seu punto de tanxencia, isto é, a recta tanxente é a [[Ecuación linear|función polinómica de primeiro grao]] que mellor aproxima a función localmente no punto de tanxencia considerado.
 
Si coñécese a ecuación da recta tanxente ''TaT<sub>a</sub>''(''x'') á función ''f''(''x'') no punto ''a ''pode tomarse ''TaT<sub>a</sub>''(''x'') como unha aproximación razoablemente boa de ''f''(''x'') nas proximidades do punto ''a''. Is<math />oIsto quere dicir que, se se toma un punto ''<math /> a+h'' e se avalía tanto na <math />función como na recta tanxente, a diferenza
f
(
será despreciable fronte a ''h'' en valor absoluto se ''h'' tende a cero. Canto máis preto se estea do punto ''a'' tanto máis precisa será a aproximación de ''f''(''x'').
 
Para unha función ''f''(''x'') deriv''a''ble localmente no punto ''a'', a recta tanxente a ''f''(''x'') polo punto a é:
 
=== Uso das derivadas para realizar gráficos de funcións ===
As derivadas son unha ferramenta útil para examinar as [[Gráfica|gráficas de funcións.]]. En particular, os puntos no interior dun [[dominio de definición|dominio]] dunha función de valores reais que levan a devandita función a un [[Extremos dunha función|extremo local]] terán unha primeira derivada de cero. Con todo, non todos os puntos críticos son extremos locais. Por exemplo, f(''x'')=''x³''<sup>3</sup> ten un punto crítico en ''x''=0, pero nese punto non hai un máximo nin un mínimo. O criterio da primeira derivada e o criterio da segunda derivada permiten determinar se os puntos críticos son máximos, mínimos ou ningún deles.
 
No caso de dominios multidimensionais, a función terá unha derivada parcial de cero con respecto a cada dimensión nun extremo local. Neste caso, a proba da segunda derivada pódese seguir empregando para caracterizar os puntos críticos, considerando o [[Eigenvalor|autovalor]] da [[Matriz Hessiana|matriz hessiana]] das segundas derivadas parciais da función no punto crítico. Se todos os autovalores son positivos, entón o punto é un mínimo local; se todos son negativos, entón é un máximo local. Se hai algúns autovalores positivos e algúns negativos, entón o punto crítico é un [[punto de sela]], e se non se cumpre ningún destes casos, a proba é non concluínte (é dicir, os autovalores son 0 e 3).
 
Unha vez que se atopan os extremos locais, é moito máis fácil facerse unha idea da gráfica xeral da función, xa que (no caso do dominio monodimensional) se incrementará ou diminuirá uniformemente agás nos puntos críticos, e por iso (supondo a súa [[ContinuidadContinuidade (matemáticamatemáticas)|continuidade]]) terá valores intermedios entre os valores nos puntos críticos de cada lado.
 
=== Aproximación local de Taylor ===
{<math /> }
denota [[aproximación]], non [[Igualdad matemática|igualdade.]], Se a func<math />iónfunción que se quere aproximar é [[Función continuamente diferenciable|infinitamente derivable]] (
C
=
{<math /> =}
e o desenvolvemento anterior convértese nunha [[Serie de Taylor|serie de Taylor.]]<math />. As funcións que son iguais á súa serie de Taylor denomínanse [[Función analítica|funcións analíticas]].
 
=== Cálculo de puntos ===
Por punto crítico enténdese: un punto singular, un punto onde non exista a derivada ou un punto extremo ''a'' ou ''b'' do dominio ''[a,b]'' de definición da función.
 
Se a segunda derivada é positiva nun punto crítico, dise que o punto é un mínimo local; se é negativa, dise que o punto é un [[Extremos dunha función|máximo local]]; se vale cero, pode ser tanto un mínimo como un máximo ou un [[Punto de inflexión|punto de inflexión.]]. Derivar e resolver nos puntos críticos adoita ser unha forma simple de atopar máximos e mínimos locais, que poden empregarse en [[Optimización matemática|optimización.]]. No entanto, nunca hai que desprezar os extremos en devanditos problemas.
 
== Xeneralización do cálculo diferencial ==
Cando unha función depende de máis dunha variable, utilízase o concepto de [[Derivada parcial|derivada parcial.]]. As derivadas parciais pódense pensar informalmente como tomar a derivada dunha función con respecto a unha delas, mantendo as demais variables constantes. As derivadas parciais represéntanse como:
 
O concepto de derivada pode estenderse de forma máis xeral. O fío común é que a derivada nun punto serve como unha aproximación linear á función en devandito punto. Quizais a situación máis natural é que as funcións sexan diferenciables nas [[Variedade (xeometría)|variedades.]] A derivada nun certo punto entón convértese nunha [[Transformación lineal|transformación linear]] entre os correspondentes espazos tanxentes, e a derivada da función convértese nun mapeo entre os grupos tanxentes.
 
 
O concepto de derivada pode estenderse de forma máis xeral. O fío común é que a derivada nun punto serve como unha aproximación linear á función en devandito punto. Quizais a situación máis natural é que as funcións sexan diferenciables nas [[Variedade (xeometría)|variedades.]]. A derivada nun certo punto entón convértese nunha [[Transformación lineal|transformación linear]] entre os correspondentes espazos tanxentes, e a derivada da función convértese nun mapeo entre os grupos tanxentes.
 
== Véxase tamén ==
=== Bibliografía ===
 
== Bibliografía ==
* ''Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions'' (3.ª edición) por Bruce H Edwards, Robert P. Hostetler e Ron Larson (2003).
* ''Calculus'' (2.ª edición) por Michael Spivak.
* ''Calculus Early Trascendentals'' (6.ª edición) por James Stewart.
* ''Principios de Análise Matemática'' por Enrique Linés Escardo.
 
{{Control de autoridades}}
 
[[Categoría:Análise matemática]]
29.444

edicións