Variedade (xeometría)

Nas matemáticas, unha variedade é unha xeneralización da idea de superficie. Hai varios tipos de variedades, de acordo coas propiedades que posúen. As mais usuais son as variedades topolóxicas e as variedades diferenciábeis. As variedades son de interese no estudo da xeometría, da topoloxía, e da análise.

Motivación

Considérese a opinión de que a Terra é plana en contraste coa evidencia moderna de que é aproximadamente esférica. A discrepancia vén esencialmente do feito de que nas escalas pequenas que vemos a terra parecer ser plana. Xeneralizando, calquera obxecto que sexa case "plano" en escalas pequenas é unha variedade. As variedades constitúen unha xeneralización dos obxectos que poden ser considerados planos, arredor dun punto dado.

Construción xeral

Catro cartas dun círculo.

A idea xeral común aos varios tipos de variedades consiste na descomposición dun conxunto en varios anacos do mesmo tipo, de modo que estes anacos se xunten ben.

Formalmente, considérese un espazo topolóxico $X\,$ e un grupo $G\,$ de homeomorfismos de abertos de $X\,$. Unha variedade modelada no par $(X,G)\,$ é un espazo topolóxico $M\,$ dotado dun conxunto de homeomorfismos $\phi _{i}:U_{i}\rightarrow V_{i}$, onde $U_{i}\,$ e $V_{i}\,$ son abertos de $M\,$ e $X\,$, respectivamente tales que:

• $\cup _{i}U_{i}=M$
• se $U_{i}\cap U_{j}\neq \emptyset$, entón $\phi _{j}\circ \phi _{i}^{-1}\in G$

Cada función $\phi _{i}\,$ é chamada unha carta, e a colección de todas as cartas chámase atlas.

Variedades topolóxicas

Unha variedade topolóxica é unha variedade modelada no par $(\mathbb {R} ^{n},{\mbox{Homeo}}(\mathbb {R} ^{n}))$, onde ${\mbox{Homeo}}(\mathbb {R} ^{n})$ é o conxunto dos homeomorfismos de $\mathbb {R} ^{n}$. Noutras palabras, unha variedade topolóxica é un espazo topolóxico que localmente é similar a un espazo euclidiano.

Variedades diferenciábeis

Unha variedade diferenciábel é unha xeneralización dunha variedade topolóxica que traduce a idea de diferenciabilidade. É unha variedade modelada no par $(\mathbb {R} ^{n},{\mbox{Difeo}}(\mathbb {R} ^{n}))$, onde ${\mbox{Difeo}}(\mathbb {R} ^{n})$ é o conxunto dos difeomorfismos de $\mathbb {R} ^{n}$.

Dimensión

As variedades de dimensión 1 e 2 teñen nomes especiais. Así,

• unha variedade de dimensión 1 chámase curva;
• unha variedade de dimensión 2 chámase superfície.

Exemplos

O exemplo básico de unha variedade é o propio espazo euclidiano; moitas das súas propiedades recaen sobre as variedades. Alén diso, todo o limite plano dun subconxunto do espazo euclidiano, como o círculo ou a esfera, é unha variedade.

Véxase tamén

Outros artigos

• Teoría das variedades