Xeometría non euclidiana: Diferenzas entre revisións

Contido eliminado Contido engadido
Jglamela (conversa | contribucións)
en uso
Jglamela (conversa | contribucións)
Arranxos
Liña 1:
{{enuso}}
[[Ficheiro:Noneuclid.svg|dereita|miniatura|400x400px|O tres tipos de xeometrías homoxéneas posibles, ademais da xeometría euclidiana de curvatura nula, son a [[xeometría elíptica]] de curvatura positiva, e a [[xeometría hiperbólica]] de curvatura negativa. Se se consideran xeometrías non euclidianas homoxéneas entón existe unha infinidade de posibles xeometrías, descritas polas [[variedade riemanniana|variedades riemannianas]] xerais.]]
Denomínase '''xeometría non euclidiana''', a calquera forma de [[xeometría]] cuxos [[Postulados de Euclides|postulados]] e propiedades difiren nalgún punto dos establecidos por [[Euclides]] nos seus tratado ''[[Elementos de Euclides|Elementos.]]''. Non existe un só tipo de xeometría non euclidiana, senón moitos, aínda que se se restrinxe a discusión a espazos homoxéneos, nos que a curvatura do espazo é a mesma en cada punto, nos que os puntos do espazo son indistinguibles poden distinguirse tres tipos de xeometrías:
* A '''[[xeometría euclidiana]]''' satisfai o cinco postulados de Euclides e ten curvatura cero (é dicir suponse nun espazo [[Plano (xeometría)|plano]] polo que a suma do tres ángulos interiores dun [[triángulo]] é sempre 180°.).
* A '''[[xeometría hiperbólica]]''' satisfai só o catro primeiros postulados de Euclides e ten curvatura negativa (nesta xeometría, por exemplo, a suma dos tres ángulos interiores dun triángulo é inferior a 180°).
* A '''[[xeometría elíptica]]''' satisfai só os catro primeiros postulados de Euclides e ten curvatura positiva (nesta xeometría, por exemplo, a suma do tres ángulos interiores dun triángulo é maior a 180°).
Todos estes son casos particulares de [[variedade de Riemann|xeometrías riemannianas]], nos que a curvatura é constante; se se admite a posibilidade de que a curvatura intrínseca da xeometría varíe dun punto a outro tense un caso de xeometría riemanniana xeral, como sucede na [[Relatividade xeral|teoría da relatividade xeral]], onde a gravidade causa unha curvatura non homoxénea no [[espazo-tempo]], sendo maior a curvatura preto das concentracións de masa, o cal se percibe como un campo gravitatorio atractivo.
 
== Historia ==
O primeiro exemplo de xeometría non euclidiana foi a [[xeometría hiperbólica|hiperbólica]], teorizada inicialmente por [[Immanuel Kant|Immanuel]] Kant{{Cómpre referencia}}, formalizada posterior e independentemente por varios autores a principios do [[século XIX]] tales como [[Carl Friedrich Gauss]], [[Nikolai Ivanovich Lobachevski|Nikolái Lobachevski]], [[János Bolyai]] e [[Ferdinand Schweickard]].
 
Os desenvolvementos de xeometrías non euclidianas xestáronse nos seus comezos co obxectivo de construír modelos explícitos nos que non se cumprise o [[quinto postulado de Euclides]].
 
A xeometría euclideana fora desenvolvida polos gregos e exposta por Euclides na obra ''[[Elementos de Euclides|Os elementosElementos]]''. Na súa primeira obra publicada, ''Gedanken von der wahren Schätzung der lebendigen Kräfte und Beurteilung der Beweise derer sich Herr von [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] und anderer Mechaniker in dieser Streitsache bedient haben'' ("Pensamentos sobre a verdadeira estimación das forzas vivas", 1746), [[Immanuel Kant]] considerou espazos de máis de tres dimensións e afirmou:
dieser ''Streitsache bedient haben'' ("Pensamentos sobre a verdadeira estimación das forzas vivas", 1746), [[Immanuel Kant]] considera espazos de máis de tres dimensións e afirma:{{Cita|Unha ciencia de todas estas posibles clases de espazo sería sen dúbida a empresa máis elevada que un entendemento finito podería acometer no campo da Xeometría... Se é posible que existan extensións con outras dimensións, tamén é moi probable que Dios as trouxese á existencia, porque as súas obras teñen toda a magnitude e variedade de que son capaces.}}Esas posibles xeometrías que Kant entrevé son as que hoxe se chaman xeometrías euclidianas de dimensión maior que 3.
Na súa primeira obra publicada, ''Gedanken von der wahren Schätzung der lebendigen Kräfte und''
Esas posibles xeometrías que Kant entreviu son as que hoxe se chaman xeometrías euclidianas de dimensión maior que 3.
''Beurteilung der Beweise derer sich Herr von''
''[[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]]'' und anderer Mechaniker in
dieser ''Streitsache bedient haben'' ("Pensamentos sobre a verdadeira estimación das forzas vivas", 1746), [[Immanuel Kant]] considera espazos de máis de tres dimensións e afirma:{{Cita|Unha ciencia de todas estas posibles clases de espazo sería sen dúbida a empresa máis elevada que un entendemento finito podería acometer no campo da Xeometría... Se é posible que existan extensións con outras dimensións, tamén é moi probable que Dios as trouxese á existencia, porque as súas obras teñen toda a magnitude e variedade de que son capaces.}}Esas posibles xeometrías que Kant entrevé son as que hoxe se chaman xeometrías euclidianas de dimensión maior que 3.
 
Por outra banda, xa desdedende a antigüidade considerouse que o quinto postulado do libro de Euclides non era tan evidente como os outros catro pois, ao afirmar que certas rectas (as paralelas) non se cortarán ao prolongalas indefinidamente, fala dunha construción mental un tanto abstracta. Por iso durante moitos séculos tentouse sen éxito demostralo a partir dos outros catro. A principios do século XIX, tentouse demostralo por [[redución ao absurdo]], supondo que é falso e tratando de obter unha contradición. Con todo, lonxe de chegar a un absurdo atopouse que existían xeometrías coherentes diferentes da euclidiana. Descubriuse así a primeira xeometría non euclidiana (en concreto o primeiro exemplo que se logrou era unha xeometría chamada hiperbólica).
 
== Xeometrías de curvatura constante ==
Liña 112 ⟶ 110:
 
== Véxase tamén ==
* [[Xeometría euclidiana]]
* [[Geometría hiperbólica|Xeometría hiperbólica]]
* [[Geometría de Riemann|Xeometría de Riemann]]
* [[Geometría elíptica|Xeometría elíptica]]
 
== Referencias ==
 
=== Bibliografía ===
* N. A'Campoy A. Papadopoulos (2012) ''Notes on hyperbolic geometry'', in: Strasbourg Master class on Geometry, pp. 1-182, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, Vol. 18, Zürich: European Mathematical Society (EMS), 461 pages, SBN ISBN 978-3-03719-105-7, DOI 10.4171/105.
Liña 128 ⟶ 119:
* Milnor, John W. (1982) Hyperbolic geometry: The first 150 years, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 6, Number 1, pp. 9–24.
* John Stillwell (1996) ''Sources of Hyperbolic Geometry'', American Mathematical Society ISBN 0-8218-0529-0 .
=== Outros artigos ===
* [[Xeometría euclidiana]]
* [[Geometría hiperbólica|Xeometría hiperbólica]]
* [[Geometría de Riemann|Xeometría de Riemann]]
* [[Geometría elíptica|Xeometría elíptica]]
{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Xeometría]]