Número cardinal: Diferenzas entre revisións

Usando os [[axiomas de Zermelo-Fraenkel]] (ZF) pode comprobarse que os tres cardinais anteriores cumpren <math>\aleph_0 < \aleph_1 \le c</math>. A [[hipótese do continuo]] afirma que de feito <math>c = \aleph_1</math>. [[Kurt Gödel|Gödel]] probou en [[1938]] que esta hipótese é consistente cos axiomas ZF e, por tanto, pode ser tomado como un axioma novo para a [[teoría de conxuntos]]. Sen embargoPorén, en [[1963]], [[Paul Cohen]] probou que a negación da hipótese do continuo tamén é consistente cos axiomas ZF, o que proba que esta hipótese é totalmente independente dos axiomas ZF. É dicir, poden construírse tanto "teorías de conxuntos cantorianas" nas que a hipótese do continuo é unha afirmación certa coma "teorías de conxuntos non cantorianas" nas que a hipótese do continuo sexa falsa. Esta situación é similar á das [[Postulados de Euclides|xeometrías non euclídeas]].