Diferenzas entre revisións de «Anel (álxebra)»

m
Bot: Cambio o modelo: Cita publicación; cambios estética
m (Bot: Retiro 52 ligazóns interlingüísticas, proporcionadas agora polo Wikidata en d:q161172)
m (Bot: Cambio o modelo: Cita publicación; cambios estética)
Na [[álxebra]], un '''anel''' é unha [[estrutura alxébrica]] formada por un [[conxunto]] (A) e dúas [[Operación matemática|operacións]]: suma e produto: (A+,*); de tal xeito que (A,+) é un [[Grupo (matemáticas)|grupo conmutativo]] con [[elemento neutro]] (que designamos 0), e o produto * é [[propiedade asociativa|asociativo]] e ten a [[propiedade distributiva]] respecto da suma. Se o produto é [[propiedade conmutativa|conmutativo]] falaremos dun anel conmutativo e se o anel posúe un elemento neutro para o produto, chamarase anel con unidade.
 
== Definición formal ==
|}
 
=== Definición sintética ===
Usando ''Lecciones de Álgebra moderna de P. dubreil y M.L. dubreil Jacotin'':
 
* a multiplicación é distributiva (aos dous lados) respecto á adición.
 
== Exemplos ==
O exemplo máis intuitivo e familiar de anel é o conxunto dos [[Número enteiro|números enteiros]]:
 
 
;Outros exemplos:
* O conxunto H = {m+ni/ m,n están en Q}, H é subconxunto do conxunto C dos complexos, coa adición e multiplicación usuais.
* O conxunto M das matrices reais de orde 2 coa adición e multiplicación é un anel non conmutativo.
* O conxunto Z[6] dos restos módulo 6; coa adición e multiplicación de restos; é un anel finito con divisores de 0.
* '''Anel abeliano''': é un anel no que todo elemento idempotente pertence ao centro do anel, é dicir, todo elemento idempotente conmuta con calquera elemento do anel.
 
* '''Anel euclidiano''' (nome dado por A.I. Kostrikin). Un dominio de integridade R dise que é un ''anel euclidiano'' se para calquera elemento x distinto de 0 en R está determinado un enteiro n(x) maior ou igual que 0 e cumpre:
 
i)Para x e y elementos calquera de R, ningún nulo, n(x) menor ou igual que n(xy).
 
ii)Para x, y calquera, dous elementos non nulos á vez de R, existen q e r en R, de modo que x=qy+r, sendo r=0 o n(r) menor que n(y).
* n(x) é unha aplicación de R* en Z≥0, onde R* é o anel sen o seu 0.
 
O centro dun anel <math>(R,+,\cdot)</math> (denotado por <math>Z(R)</math>) é o conxunto de elementos que conmutan para o produto, é dicir <math>Z(R):= \{ r \in R : r \cdot s = s \cdot r , \forall s \in R \}</math>. O centro dun anel vén a ser como "a parte conmutativa do anel". Nótese que sempre se ten que <math>0 \in Z(R)</math>. Os aneis conmutativos son, logo, aqueles que coinciden co seu centro, i.e., <math>R=Z(R)</math>.
 
* O centro do anel das matrices cadradas de orde n constitúese unicamente das matrices escalares.
 
== Véxase tamén ==
=== Bibliografía ===
* {{Cita publicación periódica | autor=R.B.J.T. Allenby | título=Rings, Fields and Groups|editor= Butterworth-Heinemann | ano=1991 | id= ISBN 0-340-54440-6}}
* [[Michael Atiyah|Atiyah M. F.]], [[Ian G. Macdonald|Macdonald, I. G.]], ''Introduction to commutative algebra''. Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont. 1969 ix+128 pp.
* Beachy, J. A. Introductory Lectures on Rings and Modules. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1999.
* {{Cita publicación periódica | autor=T.S. Blyth and E.F. Robertson| título=Groups, rings and fields: Algebra through practice, Book 3| publisher= Cambridge university Press| ano=1985| id = ISBN 0-521-27288-2}}
* Dresden, G. "Small Rings." [http://home.wlu.edu/~dresdeng/smallrings/]
* Ellis, G. Rings and Fields. Oxford, England: Oxford University Press, 1993.
* Goodearl, K. R., Warfield, R. B., Jr., ''An introduction to noncommutative Noetherian rings''. London Mathematical Society Student Texts, 16. Cambridge University Press, Cambridge, 1989. xviii+303 pp.&nbsp;ISBN 0-521-36086-2
* Herstein, I. N., ''Noncommutative rings''. Reprint of the 1968 original. With an afterword by Lance W. Small. Carus Mathematical Monographs, 15. Mathematical Association of America, Washington, DC, 1994. xii+202 pp.&nbsp;ISBN 0-88385-015-X
* {{Cita publicación periódica| apelidos=Jacobson| ano=Nathan| ano=2009| título=Basic algebra| edición=2º| volume = 1 | editor=Dover| id =ISBN 978-0-486-47189-1}}
* Nagell, T. "Moduls, Rings, and Fields." §6 in Introduction to Number Theory. New York: Wiley, pp.&nbsp;19–21, 1951
* [[Nathan Jacobson]], ''Structure of rings''. American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. 37. Revised edition American Mathematical Society, Providence, R.I. 1964 ix+299 pp.
* Nathan Jacobson, ''The Theory of Rings''. American Mathematical Society Mathematical Surveys, vol. I. American Mathematical Society, New York, 1943. vi+150 pp.
* {{Cita publicación periódica | apelidos=Kaplansky | nome=Irving | título=Commutative rings | editor=[[University of Chicago Press]] | | ano=1974 | id = ISBN 02264245450-226-42454-5}}
* Lam, T. Y., ''A first course in noncommutative rings''. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 131. Springer-Verlag, New York, 2001. xx+385 pp.&nbsp;ISBN 0-387-95183-0
* Lam, T. Y., ''Exercises in classical ring theory''. Second edition. Problem Books in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 2003. xx+359 pp.&nbsp;ISBN 0-387-00500-5
* Lam, T. Y., ''Lectures on modules and rings''. Graduate Texts in Mathematics, 189. Springer-Verlag, New York, 1999. xxiv+557 pp.&nbsp;ISBN 0-387-98428-3
* {{Cita publicación periódica | apelidos=Lang | nome=Serge | título=Undergraduate Algebra | editor=[[Springer-Verlag]] | edición=3º | id = ISBN 978-0-387-22025-3 | ano=2005}}.
* {{Cita publicación periódica | apelidos=Matsumura | nome=Hideyuki | título=Commutative Ring Theory | editor=[[Cambridge University Press]] | edición=2º | revista=Cambridge Studies in Advanced Mathematics | id = ISBN 978-0-521-36764-6 | ano=1989}}
* McConnell, J. C.; Robson, J. C. ''Noncommutative Noetherian rings''. Revised edition. Graduate Studies in Mathematics, 30. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. xx+636 pp.&nbsp;ISBN 0-8218-2169-5
* {{Cita publicación periódica | autor=Pinter-Lucke, James | título=Commutativity conditions for rings: 1950–2005 | doi=10.1016/j.exmath.2006.07.001 | ano=2007 | revista=Expositiones Mathematicae | id = ISSN 0723-0869 | volume=25 | número=2 | páxinas=165–174}}
* Rowen, Louis H., ''Ring theory''. Vol. I, II. Pure and Applied Mathematics, 127, 128. Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988. ISBN 0-12-599841-4, ISBN 0-12-599842-2
* Sloane, N. J. A. Sequences A027623 and A037234 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
393.002

edicións