Produto escalar: Diferenzas entre revisións
Contido eliminado Contido engadido
m →Definición xeneral: arranxiño |
m Bot: Substitución automática de texto (-\|[ ]*[Aa]ño[ ]*= +|ano=); cambios estética |
||
Liña 9:
: <math> \vec{A} \cdot \vec{B} = |A||B|\ cos \theta </math>
Onde <math>\theta</math> é o ángulo formado polos vectores <math> \vec{A}</math> e <math> \vec{B}</math>, e <math>|A|</math> e <math>|B|</math> son as súas lonxitudes. Da figura podemos ver que o produto <math> |A| \ cos \theta </math> representa a [[proxección]] do vector <math> \vec{A}</math>
Se o ángulo entre os vectores fose 90º (<math> \vec{A}</math> e <math> \vec{B}</math> perpendiculares entre si), o produto escalar sería cero, pois cos 90º = 0.
Liña 33:
: <math> \vec{A} \cdot \vec{A} = |A||A|\ cos 0^{o} = |A|^2 </math>
=== Definición xeneral ===
O produto escalar de dous [[vector]]es nun [[espazo vectorial]] é unha [[forma bilinear definida|forma bilinear]], [[forma hermítica|hermítica]] e [[definida positiva]], polo que se pode considerar unha forma cuadrática definida positiva.
Un produto escalar pódese expresar como unha aplicación <math>\langle \cdot,\cdot \rangle: V \times V \longrightarrow \mathbb{K}</math> onde ''V'' é un espazo vectorial e <math>\mathbb{K}</math> é o corpo sobre o que está definido ''V''.
# Linearidade pola esquerda: <math> \langle ax+by,z \rangle = a \langle x,z \rangle + b \langle y,z \rangle </math>, e linearidade conxugada pola dereita: <math> \langle x, ay+bz \rangle = \overline{a} \langle x, e \rangle + \overline{b} \langle x,z \rangle </math>
Liña 55:
||left}}
=== Definición xeométrica do produto escalar nun espazo euclídeo real ===
[[Ficheiro:Dot Product.svg|miniatura|150px|dereita|'''A''' • '''B''' = <nowiki>|</nowiki>'''A'''<nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki>'''B'''<nowiki>|</nowiki> cos(θ). <br /><nowiki>|</nowiki>'''A'''<nowiki>|</nowiki> cos(θ) é a proxección escalar de '''A''' en '''B'''.]]
Liña 70:
Esta definición de carácter xeométrico é independente do sistema de coordenadas elixido e polo tanto da base do espazo vectorial escollida.
==== Proxección dun vector sobre outro ====
Posto que '''|A| cos θ''' representa o módulo da proxección do vector '''A''' sobre a dirección do vector '''B''', isto é |A| cos θ = proy A<sub>B</sub>, será
Liña 146:
Nótese que o produto escalar de dous vectores pode ser nulo sen que o sexan os dous correspondentes vectores.
== Expresión analítica do produto escalar ==
Se os vectores '''A''' e '''B''' se expresan en función das súas compoñentes cartesianas rectangulares, tomando a [[base canónica]] en <span style="vertical-align:20%;"> <math> \mathbb{R}^3 </math> </span> formada polos vectores unitarios
{{Ecuación|<math>
\mathbf A = A_x\mathbf i+ A_y\mathbf j+A_z\mathbf k \,
Liña 165:
</math>||left}}
=== Exemplo ===
Un produto escalar é unha operación alxébrica que obedece á seguinte regra:
Sexan os vectores '''u''' e mais '''v''',de tres dimensións,con compoñentes:
uv = a1b1 + a2b2 + a3b3.
== Norma ou Módulo dun vector ==
Defínese como a lonxitude do segmento orientado (vector) no espazo métrico considerado.
Liña 196:
</math>||left}}
Por compoñentes, tomando a [[base canónica]] en <span style="vertical-align:20%;"> <math> \mathbb{R}^3 </math> </span> formada polos vectores unitarios
{{Ecuación|<math>
Liña 215:
</math>||}}
==
* No espazo vectorial <span style="vertical-align:10%;"> <math>\mathbb{R}^n</math> </span> adóitase definir o produto interior (chamado, neste caso en concreto, ''produto punto'') por:
Liña 247:
<math>\mathbf{p}\cdot\mathbf{q} = p(x_1)q(x_1)+p(x_2)q(x_2)+...+p(x_n)q(x_n)+p(x_n+1)q(x_n+1) = \sum p(x_i) \cdot q(x_i) </math>
==
=== Formas cuadráticas ===
Dada unha [[Forma cuadrática|forma bilinear simétrica]] <math>\scriptstyle B(\cdot,\cdot)</math> definida sobre un espazo vectorial
{{ecuación|
<math>(\mathbf{u}, \mathbf{v})_B =
Liña 262:
=== Tensores métricos ===
Pódense definir e manexar espazos non-euclídeos ou máis exactamente [[variedade de Riemann|variedades de Riemann]], é dicir, espazos non-planos cun [[tensor de curvatura]] diferente de cero, nos que tamén podemos definir lonxitudes, ángulos e volumes. Nestes espazos máis xerais adóptase o concepto de [[xeodésica]] en lugar do de segmento para definir as distancias máis curtas
Así, dados dous vectores campos vectoriais <math>\bold{u}</math> e <math>\bold{v}</math> do espazo tanxente á variedade de Riemann defínese o seu produto interno ou escalar como:
Liña 276:
||left}}
== Véxase tamén ==
=== Bibliografía ===
* {{cita libro|autor = Ortega, Manuel R.|título = Lecciones de Física (4 volúmenes)|ano = 1989-2006|editor = Monytex|id = ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7 }}
* {{cita libro|autor = Resnick,Robert & Krane, Kenneth S.|título = Physics|localización = New York|editor = John Wiley & Sons|ano = 2001|id = ISBN 0-471-32057-9 }}
* {{cita libro|autor = Serway, Raymond A.|coautores = Jewett, John W.|título = Physics for Scientists and Engineers|edición = 6ª|editor = Brooks/Cole|ano = 2004|id = ISBN 0-534-40842-7 }}
* {{cita libro|autor = Tipler, Paul A.|título = Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes)|ano = 2000|editor = Barcelona: Ed. Reverté|id = ISBN 84-291-4382-3 }}
* {{cita libro|autor = Navarro Camacho, Jorge y otros|título = Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria ; Matemáticas (Volumen III)|ano = julio 2007|editor = MAD|id = ISBN 84-665-7931-1 }}
* {{cita libro|autor = Marsden, J.E.;Tromba, A.J.|título = Cálculo vectorial|ano = 2004|edición= 5ª|editor = Pearson educación, S.A.|id = ISBN 84-7829-069-9}}
* {{cita libro|autor = Reinhardt, Fritz;Soeder,Heinrich|título = Atlas de matemáticas 1.Fundamentos,álgebra y geometría (2 tomos)|
=== Ligazóns externas ===
* [http://www.necesitomas.com/producto_escalar_excel Produto escalar de vectores con Excel] {{es}}
[[Categoría:Matemáticas]]
| |||