Produto interno: Diferenzas entre revisións
Contido eliminado Contido engadido
Cambio satisfaz por satisfai (como marca a norma da RAG) e introduzo a definición de "semi-produto interno". |
|||
Liña 1:
{{Matemáticas en progreso}}
En [[Matemática]], chámase '''produto interno (ou interior)''' a unha función de dous [[vector (matemática)|vectores]] que satisface determinados axiomas. O [[produto escalar]], comumente usado na [[xeometría euclidiana]], é un caso especial de produto interno.
==Definicións==
Sexa '''V''' un [[espazo vectorial]] sobre un [[corpo_(matemática)|corpo]] '''K'''. En '''V''', podemos definir a [[Funcións binarias|función binaria]] <math>\langle \cdot,\cdot\rangle: V \times V \rightarrow K</math> (denominada '''produto interno'''), que
:# <math>\langle u,v\rangle = \overline{\langle v,u\rangle }</math>
:# <math>\langle u+v, w\rangle = \langle u,w\rangle + \langle v,w\rangle</math>
:# <math>\langle \lambda u, v\rangle = \lambda \langle u, v\rangle</math>
:# Se <math>v \ne 0</math>, entón <math>\langle v, v\rangle </math>> <math>0</math>
onde ''u'', ''v'' e ''w'' son vectores de '''V''', e ''λ'' é un elemento de '''K'''.
Liña 15:
A partir deses axiomas, é posíbel probar as seguintes consecuencias:
:* <math>\langle u, v+w\rangle = \langle u, v\rangle + \langle u, w\rangle</math>
:* <math>\langle u, \lambda v\rangle = \overline{\lambda}\langle u,v\rangle</math>
:* Se <math>v = 0</math>, entón <math>\langle v, v\rangle = 0</math>
:* Se <math>\langle v, v\rangle = 0</math>, entón <math>v = 0</math>
Outra definición que resulta de utilidade é a de semi-produto interno, que se define substituíndo a condición 4 da definición do produto interno pola seguinte:
* Se <math>v</math> é un vector tal que <math>\langle v, w\rangle = 0, \forall w \in
\bold{V}
</math>, entón <math>v=0 </math>.
Cando se cumpre tal condicón, dise que o produto é non dexenerado. Ademais, todo produto interno é un semi-produto interno, xa que a condición 4 implica que o produto é non dexenerado.
==Exemplos==
O [[produto escalar]] sobre o espazo vectorial <math>\mathbb{R}^3</math>
:<math>\langle (x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2)\rangle = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2</math>
| |||