Curva: Diferenzas entre revisións
Contido eliminado Contido engadido
*hipérbola |
+ contido dende es:curva |
||
Liña 3:
Unha '''curva''' é unha liña continua dunha dimensión, que varía de dirección paulatinamente. Exemplos de curvas cerradas son a [[elipse (xeometría)|elipse]] ou a [[circunferencia]], e de curvas abertas a [[parábola (xeometría)|parábola]], a [[hipérbole (xeometría)|hipérbole]] ou a [[catenaria]]. A [[recta]] sería o caso límite dun círculo de [[radio de curvatura]] infinito. Todas as curvas teñen [[dimensión topolóxica]] igual a 1.
==Definicións==
{{Xeometría plana}}▼
===Curva elemental===
Un conxunto γ de puntos do espazo chámase '''curva elemental''' se é a imaxe obtida no espazo por unha aplicación topolóxica dun segmento aberto de recta.<ref name="Xeometría"> "Geometría diferencial" (1977) Pogorélov, sen ISBN pág.14</ref>
Sendo γ unha curva elemental e sendo a < t < b o segmento aberto do que se obtén a aplicación f da curva correspondente ao punto t do segmento, ao sistema de igualdades
x = f<sub>1</sub>(t), y= f<sub>2</sub>(t), z= f<sub>3</sub>(t)
chámanselle ''ecuacións'' da curva γ en forma paramétrica.<ref name="Xeometría"/>
=== Curva simple ===
Defínese o concepto de '''curva simple''' coma unha curva tal que para todo punto '''p''' existe unha Ω contorna aberta de '''p''' para a que <math>\Omega\cap\mathcal{C}</math> admite unha representación de clase <math>C^k</math> con <math>k\geq 1</math>.
=== Curva plana ===
[[Ficheiro:RootAndPowerFunctions.svg|thumb|right|250px|Nun sistema de [[coordeadas cartesianas]] represéntanse as [[curva]]s dalgunhas raíces, así coma das súas [[potenciación|potencias]], no [[intervalo unitario|intervalo [0,1]]]. A diagonal, de ecuación [[función identidade|''y'' = ''x'']], é un [[eixo de simetría]] entre cada curva e a curva da súa inversa.]]
Unha '''curva plana''' é aquela que reside nun só [[Plano (xeometría)|plano]] e pode ser aberta ou pechada. A [[representación gráfica dunha función]] [[función real|real]] dunha variable real é unha curva plana.
=== Curva diferenzable ===
Unha curva é '''diferenzable''' cando a función <math>\mathbf{x}\colon [a,b] \subset \Iota \to\mathbb{R}^n</math> é [[función diferenzable|diferenciable]]. Se ademáis a función anterior é [[función inxectiva|inxectiva]] no intervalo <math>(a,b)\,</math> entón a curva admite un vector tanxente único en cada punto i é [[conxunto rectificable|rectificable]], o que significa que a súa [[lonxitude de arco]] está ben definida i é posible calcular a súa lonxitude. A curva <math>\mathbf{x}\colon [0,\infty) \to\mathbb{R}^n</math> :
{{ecuación|
<math>\mathbf{x}(t) = \begin{cases}
(t,t\sin\left(\frac{1}{t}\right)) & t>0 \\
(0,0) & t = 0 \end{cases}</math>
||left}}
é continua pero non diferenzable, polo que a súa lonxitude entre o punto (0,0) e cualquera outro punto da mesma non pode calcularse.
=== Curva pechada ===
Unha curva diferenzable es '''pechada''' cando <math>\mathbf{x}\colon [a,b] \to\mathbb{R}^n</math> cando <math>\mathbf{x}(a) = \mathbf{x}(b)</math>. Se ademáis, a función <math>\mathbf{x}</math> é [[función inxectiva|inxectiva]] no intervalo <math>(a,b)\,</math> entón dise que a curva é unha curva pechada simple. Unha curva pechada simple é [[homeomorfismo|homeomorfa]] ao círculo <math>S^1</math>, é dicir, ten a mesma topoloxía dun anel. A curva <math>\mathbf{x}\colon [0,1] \to\mathbb{R}^n</math> dada por:
{{ecuación|
<math>\mathbf{x}(t) = (a\cos(2\pi t), b\sin(2\pi t))</math>
||left}}
é unha curva diferenzable pechada, que resulta ser unha elipse de semieixos ''a'' e ''b''.
=== Curva suave ===
Chámase '''curva suave''' á curva que non posúe puntos angulosos, coma por exemplo o [[círculo]], a [[elipse]] ou a [[Parábola (matemática)|parábola]].
Formalmente, dada una curva '''C''' representada pola [[ecuación paramétrica]]:
:<math>\begin{cases} x = f(t) \\ y = g(t) \end{cases}</math>
nun [[Intervalo (matemática)|intervalo]] ''I'' calquera, é '''suave''' se as súas [[derivada]]s son continuas no intervalo ''I'' e non son simultáneamente nulas, excepto posiblemente nos puntos terminais do intervalo.
==Notas==
{{Listaref}}
==Véxase tamén==
{{commonscat|Curves|Curvas}}
▲{{Xeometría plana}}
[[Categoría:Xeometría]]
| |||