Diferenzas entre revisións de «Anel (álxebra)»

sen resumo de edición
Sem resumo de edição
{{entradución}}
Na [[álxebra]], un '''anel''' é unha [[estrutura alxébrica]] formada por un [[conxunto]] (A) e dúas [[Operación matemática|operacións]]: suma e produto: (A+,*); de tal xeito que (A,+) é un [[Grupo (matemáticas)|grupo conmutativo]] con [[elemento neutro]] (que designamos 0), e o produto * é [[propiedade asociativa|asociativo]] e ten a [[propiedade distributiva]] respecto da suma. Se o produto é [[propiedade conmutativa|conmutativo]] falaremos dun anel conmutativo e se o anel posúe un elemento neutro para o produto, chamarase anel con unidade.
 
O exemplo máis intuitivo e familiar de anel é o conxunto dos [[Número enteiro|números enteiros]]:
 
:... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...
 
xunto coas operacións binarias da [[suma]] e a [[multiplicación]]. Historicamente, o conxunto Z dos enteiros coas súas dúas operacións serviu de base para a formulación do concepto de anel. A razón pola cal estas tres cousas forman un anel, é porque posúen as seguintes propiedades:
 
# Os números enteiros están cerrados baixo a suma: dados dous números enteiros ''a'' e ''b'', cúmprese que ''a'' + ''b'' é un número enteiro.
# A suma é [[Asociatividade|asociativa]]: dados tres números enteiros ''a'', ''b'' e ''c'', cúmprese que (''a'' + ''b'') + ''c'' = ''a'' + (''b'' + ''c'').
# Existe un [[elemento neutro]] para a suma: para todo número enteiro ''a'', ''a'' + 0 = 0 + ''a'' = ''a''.
# Existe un [[elemento simétrico]] para a suma: para todo número enteiro ''a'', sempre existe algún número enteiro ''b'', tal que ''a'' + ''b'' = 0.
# A suma é [[Conmutatividade|conmutativa]]: dados dous números enteiros ''a'' e ''b'', cúmprese que ''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a''.
# Os números enteiros están cerrados baixo a multiplicación: dados dous números enteiros ''a'' e ''b'', cúmprese que ''a'' × ''b'' é un número enteiro.
# A multiplicación é asociativa: dados tres números enteiros ''a'', ''b'' e ''c'', cúmprese que (''a'' × ''b'') × ''c'' = ''a'' × (''b'' × ''c'').
# Existe un elemento neutro para a multiplicación: para todo número enteiro ''a'', ''a'' × 1 = ''a''.
# A multiplicación é [[Propiedade distributiva|distributiva]] respecto da suma: ''a'' × (''b'' + ''c'') = (''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'').
 
== Definición formal ==
 
==Exemplos==
O exemplo máis intuitivo e familiar de anel é o conxunto dos [[Número enteiro|números enteiros]]:
* O conxunto H = {m+ni/ m,n están en Q}, H é subconxunto do conxunto C dos complexos. con la adición y múltiplicación usuales.
 
* El conjunto M de las matrices reales de orden 2 con la adición y multiplicación es un anillo no conmutativo.
:... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...
* El conjunto Q(?) de los números reales: m +n? donde m, n están en Q, conjunto de los racionales y ? es el real que ?*? = 3. Leyes de composición: adición y multiplicación.
 
*El conjunto Z[6] de los restos módulo 6; con la adición y multiplicación de restos; es un anillo finito con divisores de 0.
xunto coas operacións binarias da [[suma]] e a [[multiplicación]]. Historicamente, o conxunto Z dos enteiros coas súas dúas operacións serviu de base para a formulación do concepto de anel. A razón pola cal estas tres cousas forman un anel, é porque posúen as seguintes propiedades:
*El conjunto F[x] de los polinomios con coeficientes en Z, conjunto de los enteros , con la adición y multiplicación.
 
# Os números enteiros están cerrados baixo a suma: dados dous números enteiros ''a'' e ''b'', cúmprese que ''a'' + ''b'' é un número enteiro.
# A suma é [[Asociatividade|asociativa]]: dados tres números enteiros ''a'', ''b'' e ''c'', cúmprese que (''a'' + ''b'') + ''c'' = ''a'' + (''b'' + ''c'').
# Existe un [[elemento neutro]] para a suma: para todo número enteiro ''a'', ''a'' + 0 = 0 + ''a'' = ''a''.
# Existe un [[elemento simétrico]] para a suma: para todo número enteiro ''a'', sempre existe algún número enteiro ''b'', tal que ''a'' + ''b'' = 0.
# A suma é [[Conmutatividade|conmutativa]]: dados dous números enteiros ''a'' e ''b'', cúmprese que ''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a''.
# Os números enteiros están cerrados baixo a multiplicación: dados dous números enteiros ''a'' e ''b'', cúmprese que ''a'' × ''b'' é un número enteiro.
# A multiplicación é asociativa: dados tres números enteiros ''a'', ''b'' e ''c'', cúmprese que (''a'' × ''b'') × ''c'' = ''a'' × (''b'' × ''c'').
# Existe un elemento neutro para a multiplicación: para todo número enteiro ''a'', ''a'' × 1 = ''a''.
# A multiplicación é [[Propiedade distributiva|distributiva]] respecto da suma: ''a'' × (''b'' + ''c'') = (''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'').
 
;Outros exemplos:
* O conxunto H = {m+ni/ m,n están en Q}, H é subconxunto do conxunto C dos complexos., con lacoa adición ye múltiplicaciónmultiplicación usualesusuais.
* ElO conjuntoconxunto M de lasdas matrices reales reais de ordenorde 2 con lacoa adición ye multiplicación esé un anilloanel nonon conmutativo.
*El conjuntoO conxunto Z[6] de losdos restos módulo 6; con lacoa adición ye multiplicación de restos; esé un anilloanel finito con divisores de 0.
*El conjuntoO conxunto F[x] de losdos polinomios con coeficientes en Z, conjuntoconxunto de los enterosdos enteiros, con lacoa adición ye multiplicación.
 
== Elementos destacables dun anel ==
 
*O centro do anel das matrices cadradas de orde n constitúese unicamente das matrices escalares.
 
==Véxase tamén==
===Bibliografía===
* {{Cita publicación | autor=R.B.J.T. Allenby | título=Rings, Fields and Groups|editor= Butterworth-Heinemann | ano=1991 | id= ISBN 0-340-54440-6}}
* [[Michael Atiyah|Atiyah M. F.]], [[Ian G. Macdonald|Macdonald, I. G.]], ''Introduction to commutative algebra''. Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont. 1969 ix+128 pp.
* Beachy, J. A. Introductory Lectures on Rings and Modules. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1999.
* {{Cita publicación | autor=T.S. Blyth and E.F. Robertson| título=Groups, rings and fields: Algebra through practice, Book 3| publisher= Cambridge university Press| ano=1985| id = ISBN 0-521-27288-2}}
* Dresden, G. "Small Rings." [http://home.wlu.edu/~dresdeng/smallrings/]
* Ellis, G. Rings and Fields. Oxford, England: Oxford University Press, 1993.
* Goodearl, K. R., Warfield, R. B., Jr., ''An introduction to noncommutative Noetherian rings''. London Mathematical Society Student Texts, 16. Cambridge University Press, Cambridge, 1989. xviii+303 pp. ISBN 0-521-36086-2
* Herstein, I. N., ''Noncommutative rings''. Reprint of the 1968 original. With an afterword by Lance W. Small. Carus Mathematical Monographs, 15. Mathematical Association of America, Washington, DC, 1994. xii+202 pp. ISBN 0-88385-015-X
* {{Cita publicación| apelidos=Jacobson| ano=Nathan| ano=2009| título=Basic algebra| edición=2º| volume = 1 | editor=Dover| id =ISBN 978-0-486-47189-1}}
* Nagell, T. "Moduls, Rings, and Fields." §6 in Introduction to Number Theory. New York: Wiley, pp. 19–21, 1951
* [[Nathan Jacobson]], ''Structure of rings''. American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. 37. Revised edition American Mathematical Society, Providence, R.I. 1964 ix+299 pp.
* Nathan Jacobson, ''The Theory of Rings''. American Mathematical Society Mathematical Surveys, vol. I. American Mathematical Society, New York, 1943. vi+150 pp.
* {{Cita publicación | apelidos=Kaplansky | nome=Irving | título=Commutative rings | editor=[[University of Chicago Press]] | | ano=1974 | id = ISBN 0226424545}}
* Lam, T. Y., ''A first course in noncommutative rings''. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 131. Springer-Verlag, New York, 2001. xx+385 pp. ISBN 0-387-95183-0
* Lam, T. Y., ''Exercises in classical ring theory''. Second edition. Problem Books in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 2003. xx+359 pp. ISBN 0-387-00500-5
* Lam, T. Y., ''Lectures on modules and rings''. Graduate Texts in Mathematics, 189. Springer-Verlag, New York, 1999. xxiv+557 pp. ISBN 0-387-98428-3
* {{Cita publicación | apelidos=Lang | nome=Serge | título=Undergraduate Algebra | editor=[[Springer-Verlag]] | edición=3º | id = ISBN 978-0-387-22025-3 | ano=2005}}.
* {{Cita publicación | apelidos=Matsumura | nome=Hideyuki | título=Commutative Ring Theory | editor=[[Cambridge University Press]] | edición=2º | revista=Cambridge Studies in Advanced Mathematics | id = ISBN 978-0-521-36764-6 | ano=1989}}
* McConnell, J. C.; Robson, J. C. ''Noncommutative Noetherian rings''. Revised edition. Graduate Studies in Mathematics, 30. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. xx+636 pp. ISBN 0-8218-2169-5
* {{Cita publicación | autor=Pinter-Lucke, James | título=Commutativity conditions for rings: 1950–2005 | doi=10.1016/j.exmath.2006.07.001 | ano=2007 | revista=Expositiones Mathematicae | id = ISSN 0723-0869 | volume=25 | número=2 | páxinas=165–174}}
* Rowen, Louis H., ''Ring theory''. Vol. I, II. Pure and Applied Mathematics, 127, 128. Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988. ISBN 0-12-599841-4, ISBN 0-12-599842-2
* Sloane, N. J. A. Sequences A027623 and A037234 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
* Zwillinger, D. (Ed.). "Rings." §2.6.3 in CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 141–143, 1995
 
[[Categoría:Álxebra]]
13.995

edicións