Diferenzas entre revisións de «Anel (álxebra)»

*El conjunto F[x] de los polinomios con coeficientes en Z, conjunto de los enteros , con la adición y multiplicación.
 
== Elementos destacadosdestacables nundun anel ==
 
* '''Elemento cero''': denotado por <math>0</math>. É o neutro para a suma. Sexa A un anel arbitrario. <math>0x = 0 \; \forall x \in A </math> A súa demostración sería: <math> 0x = (0+0)x = 0x+0x</math>. Logo <math>0x= 0x + 0x</math>. Restando o inverso aditivo de <math>0x</math>, que existe dado que A é un grupo para a suma, <math>0x -0x = 0x</math>
'''Observación:''' Sexa A un anel arbitrario. <math>0x = 0 \; \forall x \in A
</math>
Demostración: <math> 0x = (0+0)x = 0x+0x</math>. Logo <math>0x= 0x + 0x</math>. Restando o inverso aditivo de <math>0x</math>, que existe dado que A é un grupo para a suma, <math>0x -0x = 0x</math>
Pero <math>0x-0x= 0</math>. Finalmente <math>0 = 0x \forall x\in A</math>
 
Demostración: Sexa <math>a\in A a=a1 = a0 =0</math> Logo, <math>\forall a\in A , a=0</math>
 
* '''[[Inverso multiplicativo]]''': se estamos nun anel que posúaposúe un elemento unitario, <math>b</math> é '''inverso multiplicativo pola esquerda''' (ou simplemente '''inverso pola esquerda''') de <math>a</math> se <math>b \cdot a=1</math>. Así mesmo, <math>c</math> é inverso multiplicativo porpola la derechadereita (oou sencillamentesimplemente inverso por lapola derechadereita) de <math>a</math> sise <math>a \cdot c=1</math>. Un elemento <math>a^{-1}</math> se dirádise que esé inverso multiplicativo (oou sencillamentesimplemente inverso) de <math>a</math> sise <math>a^{-1}</math> esé inverso porpola la izquierdaesquerda de <math>a</math> e inverso por lapola derechadereita de <math>a</math>, esé decirdicir, <math>a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1</math>. Se existe o inverso dun elemento, entón este é único (pois se existira outro, "este deixaría de ser inverso").
Si existe el inverso de un elemento, entonces es único (lo que justifica llamarlo '''el''' inverso).
 
* '''Elemento inversible''', ou '''elemento invertible''' ou '''unidade''': é todo aquel elemento que posúe inverso multiplicativo.
 
* '''Divisor dode cero''': un elemento <math>a \neq 0</math> é divisor deldo cero por lapola izquierdaesquerda, sise existe algún b distinto de 0, tal que a·b=0. LoÉo espola pordereita la derecha sise existe un c distinto de 0 tal que c·a=0. Se diráDirase que a esé divisor delde cero, sise loo esé tanto porpola la derechadereita como por lapola izquierdaesquerda.
 
* '''Elemento regular''': un elemento <math>a \neq 0</math> de undun anilloanel esé regular sise nonon esé divisor de cero. Todo elemento invertible esé regular.
 
* '''Elemento [[idempotente]]''': esé cualquiercalquera elemento <math>e</math> deldo anilloanel que alao multiplicarse por si mismomesmo nonon varía, esé decirdicir, tal que <math>e \cdot e=e</math> (estoisto se sueleadóitase escribir como <math>e^2=e</math>). ElO cero esé siempresempre idempotente ennun un anilloanel, ye sise elo anilloanel esé unitario, tambiéntamén elo 1 esé idempotente.
 
* '''Elemento [[nilpotente]]''' (oou '''nihilpotente'''): esé cualquiercalquera elemento <math>x</math> deldo anilloanel para elo que existe un [[número natural]] <math>n</math> de forma que <math>x^n = 0</math> (dondeonde <math>x^n</math> se define por recurrenciarecorrencia: <math>x^0 = 1</math>, <math>x^n = x \cdot x^{n-1}</math>). ElO 0 esé siempresempre un nilpotente de cualquiercalquera anilloanel. Todo elemento nilpotente esé divisor de cero.
 
== Tipos de aneis ==
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