Produto vectorial: Diferenzas entre revisións
Contido eliminado Contido engadido
m r2.7.1) (Bot: Engado: pms:Prodot vetorial |
|||
Liña 1:
[[Ficheiro:
En [[matemática]], o '''produto vectorial''' é unha [[operación binaria]] sobre [[vector]]es nun [[espazo vectorial]]. Pode ser denominado
==Definición==
A notación do produto vectorial entre dous vectores '''a''' e '''b''' é '''a''' × '''b''' (en manuscritos,
Podemos definilo como:▼
:<math>
▲A notación do produto vectorial entre dous vectores '''a''' e '''b''' é '''a''' × '''b''' (en manuscritos, alguns matemáticos escriben '''a''' ∧ '''b''' para evitar a confusión con a letra '''x''').
▲Podemos definilo como
▲:<math>||\mathbf{a} \times \mathbf{b}|| = \mathbf\hat{n} \left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{b} \right| sen \theta</math>
onde θ é a medida do [[ángulo]] entre '''a''' e '''b''' (0° ≤ θ ≤ 180°) no plano definido polos dous vectores, e '''n''' é o [[vector unitario]] perpendicular a tanto '''a''' canto '''b'''.
Liña 13 ⟶ 12:
O problema con esta definición é que existen ''dous'' vectores unitarios que son perpendiculares a '''a''' e '''b''' simultaneamente: se '''n''' é perpendicular, entón '''−n''' tamén o é.
O resultado correcto depende da '''orientación''' do espazo vectorial, i.e. da '''[[:en:chirality (mathematics)|quiralidade]]''' do sistema de coordenadas ('''i''', '''j''', '''k'''). O produto vectorial '''a''' × '''b''' é definido de tal forma que ('''a''', '''b''', '''a''' × '''b''') se torna ''destro'' se ('''i''', '''j''', '''k''') é "a
Unha forma fácil de calcular a dirección do vector resultante é a "[[regra da man
[[Ficheiro:crossproduct.png|right|thumb]]
Sexan dous vectores <math>\mathbf a</math> e <math>\mathbf b</math> no [[espazo vectorial]] <math>\mathbb{R}^3</math>. O produto vectorial entre <math>\mathbf a\,</math> e <math>\mathbf b\,</math> dá como resultado un novo [[vector]], <math>\mathbf c\,</math>. Para definir este novo vector é necesario especificar o seu [[Módulo (vector)|módulo]] e [[Traxectoria|dirección]]:
* O '''módulo''' de <math>\mathbf c\,</math> está dado por
▲Unha forma fácil de calcular a dirección do vector resultante é a "[[regra da man direita]]". Se un sistema de coordenadas é destro, basta apuntar o indicador na dirección do primeiro operando e o dedo medio na dirección do segundo operando. Desta forma, o vector resultante é dado pola dirección do polgar.
:<math> c = a \, b \, \sin\theta</math>
onde ''θ'' é o ángulo determinado polos vectores '''a''' e '''b'''.
* A '''dirección''' do vector '''c''', que é ortogonal a '''a''' e ortogonal a '''b''', está dada pola [[regra da man dereita]].
=== Produto vectorial de dous vectores ===
Sexan <math> \mathbf u = u_x \mathbf i + u_y \mathbf j + u_z \mathbf k </math> e <math> \mathbf v = v_x \mathbf i + v_y \mathbf j + v_z \mathbf k </math> dous vectores concorrentes de <math> \mathbb{R}^3 </math>, o [[espazo afín]] tridimensional segundo a base anterior.
Defínese o produto <math> \times : \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3 </math>, e escríbese <math> \mathbf u \times \mathbf v </math>, como o vector:
{{ecuación|
<math>
\mathbf u \times \mathbf v =
\begin{vmatrix}u_y & u_z \\v_y & v_z \\\end{vmatrix} \mathbf i
- \begin{vmatrix}u_x & u_z \\v_x & v_z \\\end{vmatrix} \mathbf j
+ \begin{vmatrix}u_x & u_y \\v_x & v_y \\\end{vmatrix} \mathbf k
</math>
||left}}
No que
:<math>\begin{vmatrix}a & c \\ b & d \\ \end{vmatrix} = a \cdot d - b \cdot c </math>, é o [[Determinante (matemáticas)|determinante]] de orde 2.
Ou usando unha notación máis compacta, mediante o desenvolvemento pola primeira fila dun determinante simbólico de orde 3 (simbólico xa que os termos da primeira fila non son escalares):
{{ecuación|
<math>
\mathbf u \times \mathbf v =
\begin{vmatrix}
\mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\
u_x & u_y & u_z \\
v_x & v_y & v_z \\
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
u_y & u_z \\
v_y & v_z \\
\end{vmatrix}
\cdot \mathbf i -
\begin{vmatrix}
u_x & u_z \\
v_x & v_z \\
\end{vmatrix}
\cdot \mathbf j +
\begin{vmatrix}
u_x & u_y \\
v_x & v_y \\
\end{vmatrix}
\cdot \mathbf k
</math>
||left}}
Que dá orixe á chamada [[regra da man dereita]] ou regra do sacarrollas: xirando o primeiro vector cara ao segundo polo ángulo máis pequeno, a dirección de <math> \mathbf u \times \mathbf v </math> é o dun sacarrollas que xire na mesma dirección.
=== Exemplo ===
O produto vectorial dos vectores <math>\mathbf a = (2,0,1)</math> e <math>\mathbf b = (1,-1,3)</math> calcúlase do seguinte xeito:
{{ecuación|
<math>\mathbf a \times \mathbf b =
\begin{vmatrix}\mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\2 & 0 & 1 \\1 & -1 & 3 \\\end{vmatrix} </math>
||left}}
Expandindo o [[Determinante (matemática)|determinante]]:
{{ecuación|
<math>\mathbf a \times \mathbf b = \mathbf i \begin{vmatrix}0 & 1 \\-1 & 3 \\\end{vmatrix} - \mathbf j \begin{vmatrix}2 & 1 \\1 & 3 \\\end{vmatrix} +
\mathbf k \begin{vmatrix}2 & 0 \\1 & -1 \\\end{vmatrix} =
\mathbf i - 5 \mathbf j - 2 \mathbf k
</math>
||left}}
Pode verificarse facilmente que <math>\mathbf a \times \mathbf b</math> é ortogonal aos vectores <math>\mathbf a</math> e <math>\mathbf b</math> efectuando o [[produto escalar]] e verificando que este é nulo (condición de [[perpendicular]]idade de vectores).
| |||