Abrir o menú principal

Cambios

arranxiños
Os '''mínimos cadrados''' é unha técnica [[matemática]] de [[optimización]] que intenta encontrar o "mellor axuste" para un conxunto de datos mediante a minimización da suma dos cadrados das diferenzas ordinais (chamadas [[residuos]]) entre a [[axuste de funcións|función axustada]] e os datos.
 
Un requisito implícito do método dos mínimos cadrados para que funcione é que os erros en cada medida deben estar distribuidosdistribuídos aleatoriamente. O [[Teorema Gauss-Markov]] provaproba que os estimadores de mínimos cadrados son [[insesgado]]s e que os datos mostrais non teñen que seguir por exemplo unha [[distribución normal]]. É tamén importante que os datos recollidos esténestean ben escollidos, para permitir a visibilidade nas variables a resolver (dando maior peso a datos concretos, ver [[Mínimos cadrados ponderados]]).
 
A técnica dos mínimos cadrados é utilizada normalmente en axustes de curvas. Moitos outros problemas de optimización poden ser expresados mediante mínimos cadrados, tanto minimizando [[enerxía]] como maximizando [[entropía]].
No exemplo anterior, ''f'' é [[función lineal|lineal]] nos parámetros ''a'', ''b'' e ''c''. O problema simplifícase considerablemente neste caso e esencialmente redúcese a un [[sistema lineal de ecuacións]]. Isto explícase no artigo sobre os [[mínimos cadrados lineais]].
 
O problema é moito máis dificildifícil se ''f'' nón é lineal nos parámetros. Entón temos que resolver un problema xeral (non condicionado) de [[optimización]]. CalquerCalquera algoritmo para ditos problemas, como o [[Método de Newton]] e [[gradentegradiente descendente]], pode ser usado. Outra posibilidade e aplicar un algoritmo que sexa desenrolado especificamente para tratar problemas de mínimos cadrados, por exemplo o [[Algoritmo Gauss-Newton]] ou o [[Algoritmo Levenberg-Marquardt]].
 
== Mínimos cadrados e análise de regresión ==
 
Na [[análise de regresión]], reemplazamossubstituímos a relación
 
:<math>f(x_i)\approx y_i</math>
:<math>f(x_i) = y_i + \varepsilon_i,</math>
 
onde o termo de ruidoruído ε é unha [[variable aleatoria]] con media cero. Téñase en conta que estamos asumindo que os valores <math>x</math> son exactos, e que todo o error está nos valores <math>y</math>. De novo, distinguimos entre [[regresión lineal]], que en tal caso a función ''f'' é lineal nos parámetros a ser determinados (p.e., ''f''(''x'') = ''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''), e [[regresión non lineal]]. Como antes, a regresión lineal é moito máis facilfácil que a non lineal. (Téndese a pensar que a razón do nome ''regresión lineal'' é que o gráfico da función ''f''(''x'') = ''ax'' + ''b'' é unha línealiña. Axustar unha curva ''f''(''x'') = ''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c'', estimando ''a'', ''b'', e ''c'' mediante mínimos cadrados, é un tipo de regresión ''lineal'' porque o vector de estimacións por mínimos cadrados de ''a'', ''b'', e ''c'' é unha [[transformación lineal]] do vector cos seguintes compoñentes
''f''(''x''<sub>''i''</sub>)&nbsp;+&nbsp;ε<sub>''i''</sub>.)
 
Os valores estimados por mínimos cadrados minimizan ''S''. O [[Teorema Gauss-Markov]] demostra que as estimacións de mínimos cadrados son óptimas se collemos ''f''(''x'') = ''ax'' + ''b'' sendo ''a'' e ''b'' os parámetros a determinar e os termos de ruidoruído ε son independentes e identicamente distribuidosdistribuídos.
 
== Véxase tamén ==
 
* [[regresión lineal]].
* [[mínimos cadrados ponderados]].
* [[análise de regresión]].
 
[[Categoría:Optimización]]
50.744

edicións