Mecánica hamiltoniana: Diferenzas entre revisións

nas [[coordenadas cartesianas]], os momentos xeralizados resultan ser os [[momento]]s lineais físicos. En [[coordenadas polares]], o momento xneralizadoxeralizado que corresponde á velocidade angular é o [[momento angular]] físico. Para unha eleción arbitraria de coordenadas xeralizadas, pode nonon ser posible obter unha interpretación intuitiva dos momentos conxugados. O ''hamiltoniano'' é a [[Transformada de Legendre|transformación de Legendre]] do [[lagranxiano]]

asAs ecuacións de Hamilton son [[ecuación diferencial|ecuacións diferenciais de primeira orde]], e por tanto máis doadas de solucionar que as ecuacións de Lagrange, que son de segunda orde. Non embargantes, os pasos que levan ás ecuacións do movemento son más dificultosos que en mecánica lagranxiana - comenzando coas coordenadas xeralizadas e o lagranxiano, debemos calcular o hamiltoniano, expresar cada velocidade xeralizada en termos dos momentos conxugados, e substituír as velocidades xeralizadas no hamiltoniano polos momentos conxugados.

Se temos un [[variedad simpléctica|espazo simpléctico]], que está equipado naturalmente cun [[corchete de Poisson]] e unha [[función diferenciable]] H sobre ela, entón H define unha familia de transformacións uniparamétricas con respecto ó tempo e isto cámasechámase '''mecánica hamiltoniana'''. En particular,

aA isto chámaselle [[teorema de Liouville (hamiltoniano)|Teorema de Liouville]]. Cada [[función diferenciable]], G, sobre a [[variedade simpléctica]] xera unha familia uniparamétrica de [[simplectomorfismo]]s e se {G, h}=0, entón G consérvase e os simplectomorfismos son transformacións de simetría.

Hai outra xeralización que podemos facer. En troques de mirar a [[álxebra asociativa|álxebra]] de funcións diferenciables sobre unha [[variedade simpléctica]], a mecánica hamiltoniana pódese formular nunha [[álxebra de Poisson]] [[número real|real]] [[unital]] [[conmutativa]] xeral. Un [[estado (análise funcional)|estado]] é unha [[funcional lineal]] [[continuidade (topoloxía)|contínua]] na álxebra de Poisson (equipada de algunha [[espazo topolóxico|topoloxía]] convinte) tales que para calquera elemento da álxebra, A, A^2 vai a ser un número real non negativo.