Serie de Fourier: Diferenzas entre revisións

Se f(x) é unha función periódica de período 2π e <math>a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x) \cos nx dx</math>, e <math>b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x) \operatorname{sen} nx dx</math> daquela a serie converxe a f(x).

 

 

Pola [[identidade de Euler]](<math>e^{ix} = \cos(x)+ i \operatorname{sen}(x)</math>), e operando adecuadamente, se

:<math> \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_{n}\,e^{inx}</math>

 

{{Matemáticas en progreso}}

A ecuación a resolver

[[Ficheiro:ec.jpg]]

 

É común substituír a variábel ''x'' por ωt, resultando as compoñentes:

 

:<math> f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_{n}\,e^{in\omega\,t}</math>

 

 

Debido a que as "funcións base" ''e''^''ikx'' son [[homomorfismo]]s da liña real (máis concretamente, do "grupo do círculo") temos certas identidades útiles:

# A transformada de Fourier é un [[morfismo]]: <math>(f*g) \hat{ } (k)=\hat f(k) \hat g(k)</math> -- isto é, a transformada de Fourier dunha [[convolución]] é o produto das transformadas de Fourier.

 

As útiles propiedades das series de Fourier son debidas principalmente á [[ortogonalidade]] e á [[homomorfismo|propiedade de homomorfismo]] das funcións ''e''^{''i n x''}.

 

Algúns exemplos son as secuencias de [[Función de Bessel|funcións de Bessel]] e os [[Polinomio ortogonal|polinomios ortogonais]]. Tales sucesións obtéñense normalmente como solucións dunha ecuación diferencial; unha gran clase de tales sucesións útiles son solucións dos chamados [[Teoría de Sturm-Liouville|problemas de Sturm-Liouville]].

 

 

* [[Transformada de Fourier]]

* [[Fenómeno de Gibbs]]

 

 

[[Categoría:Análise matemática]]

[[mt:Serje ta' Fourier]]

[[nl:Fourierreeks]]

[[pl:Szereg Fouriera]]

[[pt:Série de Fourier]]