Tensor: Diferenzas entre revisións

En [[matemáticas]], un '''tensor''' é (nun senso informal) unha 'cantidade' ou 'entidade xeométrica' [[linearity|linear]] xeralizadaxeneralizada que se pode expresar coma un [[vector|vector multidimensional]] relativo á escolla dunha [[base (álxebra linear)|base]]; non obstante,

A notación foi desenvolvida polo [[1890]] por [[Gregorio Ricci-Curbastro]] no seu traballo ''cálculo diferencial absoluto'', e fíxose accesible a moitos matemáticos grazas á publicación do clásico texto italiano do mesmo título escrito por [[Tullio Levi-Civita]] no [[1900]]. No século XX a materia comezouse a coñecer como ''análise tensorial'' e tomou grande importancia coa introducciónintrodución da teoría da [[relatividade xeral]] de [[Albert Einstein|Einstein]] polo [[1915]]. Na relatividade xeral emprégase a linguaxe de tensores para o desenvolvemento da teoría, e dise que o mesmo Einstein aprendeu a teoría, con grande dificultade, de Levi-Civita.

* O xeito que se emprega xeralmente en física é o de definir os tensores en termos de obxectos cuxas compoñentes se transforman dacordode acordo cunhas regras determinadas, introducindo así as ideas de covarianza e contravarianza.

* O xeito matemático de introducir os tensores implica a definición de certo [[espazo vectorial]] sen fixar sistema de coordeadascoordenadas ningún até que se precisen as bases.

Os físicos e enxeñeiros foron os primeiros en decatarse de que vectores e tensores teñen un gran significado físico por si mesmos, alén do sistema coordeadocoordenado (xeralmente arbitrariamente escollido) no que se expresen esas cantidades. Do mesmo xeito, os matemáticos decatáronse que certas relacións tensoriais son máis doadas de obter nun sistema de coordeadascoordenadas concreto.

Non tódastodas as relacións da natureza son lineais, pero a meirande parte son [[diferenciable]]s e, polo tanto, póndensepódense aproximar como sumas de [[función]]s multilineais. Deste xeito, o máis das magnitudes físicas pódense expresar como tensores.

Coma exemplo sinxelo pódese pensar nun barco na auga e tentar describir a resposta do mesmo a unha forza externa que se lle aplique. A forza é un vector e o barco respostará cunha aceleración, que tamén é un vector. Esa aceleración non ten por que ir na mesma dirección que a forza, pero a relación entre a forza aplicada e a aceleración sufrida polo barco é [[operador linear|linear]] en mecánica clásica. Dita relación é un tensor de tipo (1,1) (o que quere dicir, máis ou menos, que transforma un vector noutro). O tensor deste exemplo pódese representar como unha [[matriz]] que, ó multiplicar un vector, dá como resultado outro. Do mesmo xeito que os números que representan un vector (as [[compoñente]]s do mesmo) cambian se trocamos o sistema de coordeadascoordenadas, os números da matriz que representan o tensor tamén cambiarán ó trocarmos o sistema.

PóndensePódense clasificar as magnitudes xeométricas e físicas considerando os [[grao de liberdade (física e química)|graos de liberdade]] inherentes á suasúa descrición. As magnitudes escalares son aquelas que se poden representar cun só número, como a [[presión]], a [[masa]] ou a [[temperatura]]. Tamén hai magnitudes vectoriais, como a [[forza]], que requiren unha ringleira de números para describilas. Por último, magnitudes tales como as formas cadráticas requiren unha matriz para a súa representación.

Outro exemplo dun tensor é o [[tensor de curvatura de Riemann]] que aparece na teoría da [[relatividade xeral]], que é un tensor de rango 4, tendo cada índice 4 dimensións (tres espaciais e unha temporal). Esta magnitude ten 256 compoñentes, aínda que por razóns das simetrías físicas só 20 delas son independentes das demáisdemais, simplificando así o traballo con esta magnitude.

:O enfoque clásico ve os tensores como matrices multidimensionais que xeralizanxeneralizan tanto os escalares coma os vectores ou as matrices. As compoñentes do tensor serían así os valores de cada cela desa matriz xeralizadaxeneralizada. Esta idea pódese xeralizarxeneralizar a campos tensoriais cando os elementos do tensor son funcións ou diferenciais no canto de números.

Se pasamos a un novo sistema de coordeadascoordenadas (<math>\bar{x}^i</math>), dende o sistema orixinal (<math>x^i</math>), tense que o tensor transforma segundo

:O enfoque moderno (libre de compoñentes) ve os tensores comscomo obxectos abstractos representando un tipo definido de concepto multilinear. As súas propiedades pódense derivar da súa definición como funcións lineares ou incluso de xeito máis xeral e as reglas para manipular tensores xorden como unha extensión da [[álxebra linear]] á [[álxebra multilinear]]. Este tratamento tentou reemprazarsubstituír o anterior para un estudo máis avanzado, o que carrexa maiores complicacións cando se tentan dar interpretacións xeométricas.

Tamén se pode ter unha "densidade" para un campo tensorial. Un tensor con densidade ''r'' transfórmase coma un tensor ordinario baixo cambios de coordeadascoordenadas agás polo feito de que tamén hai que facer o produto polo [[jacobiano]] á ''r''-ésima potencia.

Para achegarmonosachegármonos ao concepto de covarianza e contravarianza primeiro temos que dar algunhas definicións.

Por un momento, iñoremosignoremos a posición dos índices. Sexa <math>{x_k}</math> unha base calquera do espazo e apliquemos unha transformación de coordeadascoordenadas que nos leve á nova base <math>{x^\prime_k}</math>. Supoñamos que o queremos facer mediante unha [[transformación ortogonal]] para simplificar o cálculo.

Debe existir unha certa relación entre a base antiga e la nova, que virá dada por unha matriz de cambio 'O' que nos permitirá recuperar as coordeadascoordenadas da base anterior dende as coordenadas da nova base

É dicir, un n-tensor compórtase coma o vector A pero de xeito xeralizadoxeneralizado a n dimensións, agora a matriz de cambio é un produto de n matrices que nos din, de xeito exacto, como se transforma o noso n-tensor.

O primeiro dos dous 2-tensores (A) transfórmase coma o segundo (C) pero empregando a [[matriz trasposta]] no canto da matriz orixinal 'O' (se non estiveramos en coordeaascoordenadas ortogonais, a matriz sería a inversa e non a trasposta). Logo atopamos un problema de notación ao estar a chamar igual a dúas cousas distintas. Para solventar este problema ós tensores de tipo

*[[:en:Classical treatment of tensors]].

*[[:en:Tensor (intrinsic definition)]].

*[[:en:Intermediate treatment of tensors]].