En álxebra elemental , o teorema do binomio (ou expansión binomial ) describe a expansión alxébrica das potencias dun binomio . Segundo o teorema, é posible expandir o polinomio (x + y )n nunha suma que implique termos da forma ax b y c , onde os expoñentes b e c son enteiros non negativos con b + c = n e o coeficiente a de cada termo é un número enteiro positivo específico que depende de n e b . Por exemplo, para n = 4 ,
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
{\displaystyle {\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\end{array}}}
O
coeficiente binomial
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}
aparece como a entrada
k -ésima na
n -ésima fila do
triángulo de Pascal (onde a fila superior é a fila 0,
(
0
0
)
=
1
{\displaystyle {\tbinom {0}{0}}=1}
). Cada entrada é a suma das dúas superiores.
(
x
+
y
)
4
=
x
4
+
4
x
3
y
+
6
x
2
y
2
+
4
x
y
3
+
y
4
.
{\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.}
O coeficiente a no termo de ax b y c coñécese como coeficiente binomial
(
n
b
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{b}}}
ou
(
n
c
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{c}}}
(os dous teñen o mesmo valor). Estes coeficientes para variar n e b pódense ordenar para formar o triángulo de Pascal . Estes números tamén aparecen en combinatoria , onde
(
n
b
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{b}}}
dá o número de combinacións diferentes (é dicir, subconxuntos) de b elementos que se poden escoller entre un conxunto de n elementos, e de aí podemos ler "n sobre b " ou "n en b ".
Aquí vemos os primeiros casos do teorema binomial:
(
x
+
y
)
0
=
1
,
(
x
+
y
)
1
=
x
+
y
,
(
x
+
y
)
2
=
x
2
+
2
x
y
+
y
2
,
(
x
+
y
)
3
=
x
3
+
3
x
2
y
+
3
x
y
2
+
y
3
,
(
x
+
y
)
4
=
x
4
+
4
x
3
y
+
6
x
2
y
2
+
4
x
y
3
+
y
4
,
(
x
+
y
)
5
=
x
5
+
5
x
4
y
+
10
x
3
y
2
+
10
x
2
y
3
+
5
x
y
4
+
y
5
,
(
x
+
y
)
6
=
x
6
+
6
x
5
y
+
15
x
4
y
2
+
20
x
3
y
3
+
15
x
2
y
4
+
6
x
y
5
+
y
6
,
(
x
+
y
)
7
=
x
7
+
7
x
6
y
+
21
x
5
y
2
+
35
x
4
y
3
+
35
x
3
y
4
+
21
x
2
y
5
+
7
x
y
6
+
y
7
,
(
x
+
y
)
8
=
x
8
+
8
x
7
y
+
28
x
6
y
2
+
56
x
5
y
3
+
70
x
4
y
4
+
56
x
3
y
5
+
28
x
2
y
6
+
8
x
y
7
+
y
8
.
{\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{0}&=1,\\[8pt](x+y)^{1}&=x+y,\\[8pt](x+y)^{2}&=x^{2}+2xy+y^{2},\\[8pt](x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\[8pt](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\\[8pt](x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5},\\[8pt](x+y)^{6}&=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6},\\[8pt](x+y)^{7}&=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7},\\[8pt](x+y)^{8}&=x^{8}+8x^{7}y+28x^{6}y^{2}+56x^{5}y^{3}+70x^{4}y^{4}+56x^{3}y^{5}+28x^{2}y^{6}+8xy^{7}+y^{8}.\end{aligned}}}
os expoñentes de x nos termos son n , n − 1, ..., 2, 1, 0 n , n − 1, ..., 2, 1, 0 (o último termo contén implicitamente x 0 = 1 );
os expoñentes de y nos termos son 0, 1, 2, ..., n − 1, n 0, 1, 2, ..., n − 1, n (o primeiro termo contén implicitamente y 0 = 1 );
os coeficientes forman a n ésima fila do triángulo de Pascal;
hai n + 1 termos, e os seus coeficientes suman 2n .
Coeficientes binomiais
editar
Os coeficientes que aparecen na expansión binomial chámanse coeficientes binomiais . Estes adoitan escribirse
(
n
k
)
,
{\displaystyle {\tbinom {n}{k}},}
e pódese ler como "n sobre k ", combinacións de n elementos tomados en grupos de k elementos.
O coeficiente de x n −k y k vén dado pola fórmula
(
n
k
)
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
.
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\;(n-k)!}}.}
O coeficiente binomial
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}
pódese interpretar como o número de formas de escoller k elementos dun conxunto de n elementos.
Xeneralizacións
editar
Teorema binomial xeneralizado de Newton
editar
Isaac Newton xeneralizou a fórmula para exponentes reais, considerando unha serie infinita:
(
x
+
y
)
r
=
∑
k
=
0
∞
(
r
k
)
x
r
−
k
y
k
{\displaystyle {(x+y)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{r-k}y^{k}}}
onde
r
{\displaystyle r}
pode ser calquera número real e os coeficientes están dados polo produto :
(
r
k
)
=
1
k
!
∏
n
=
0
k
−
1
(
r
−
n
)
=
r
(
r
−
1
)
(
r
−
2
)
⋯
(
r
−
k
+
1
)
k
!
=
r
!
(
r
−
k
)
!
k
!
{\displaystyle {r \choose k}={1 \over k!}\prod _{n=0}^{k-1}(r-n)={\frac {r(r-1)(r-2)\cdots (r-k+1)}{k!}}={\frac {r!}{(r-k)!k!}}}
Expresado co símbolo de Pochhammer :
(
r
k
)
=
r
k
_
k
!
{\displaystyle {r \choose k}={\frac {r^{\underline {k}}}{k!}}}
.
Estas fórmulas converxen e a igualdade é certa sempre que os números reais ou complexos
x
{\displaystyle x}
e
y
{\displaystyle y}
sexan suficientemente próximos, no sentido de que
x
>
y
{\displaystyle x>y}
e o valor absoluto de
|
x
y
|
{\displaystyle {\Big |}{\frac {x}{y}}{\Big |}}
sexa menor que 1.
A expansión para a potencia recíproca é a seguinte:
1
(
1
−
x
)
r
=
∑
k
=
0
∞
(
r
+
k
−
1
k
)
x
k
{\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{r}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{r+k-1 \choose k}x^{k}}
Exemplos (lembrando que
|
x
|
<
1
{\displaystyle |x|<1}
):
1
+
x
=
1
+
1
2
x
−
1
8
x
2
+
1
16
x
3
−
5
128
x
4
+
7
256
x
5
−
⋯
.
{\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots .}
1
1
+
x
=
1
−
1
2
x
+
3
8
x
2
−
5
16
x
3
+
35
128
x
4
−
63
256
x
5
+
⋯
.
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+x}}}=1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots .}
Teorema Multinomial
editar
O teorema do binomio pode ser xeneralizado para incluír potencias de sumas de máis de dous termos. En xeral:
(
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
m
)
n
=
∑
k
1
+
k
2
+
⋯
+
k
m
=
n
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
)
x
1
k
1
x
2
k
2
⋯
x
m
k
m
.
{\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}}.}
Nesta fórmula, a suma faise sobre tódolos valores enteiros naturais desde
k
1
{\displaystyle k_{1}}
ata
k
m
{\displaystyle k_{m}}
de tal modo que a suma de todos estes valores sexa igual a
n
{\displaystyle n}
. Os coeficientes do sumatorio, calcúlanse segundo a fórmula:
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
)
=
n
!
k
1
!
⋅
k
2
!
⋯
k
m
!
.
{\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\cdot k_{2}!\cdots k_{m}!}}.}
Desde o punto de vista da combinatoria , o coeficiente multinomial conta o número de diferentes maneiras de dividir un conxunto de
n
{\displaystyle n}
elementos en subconxuntos disxuntos de tamaños
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
{\displaystyle k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}
Teorema multi-binomial
editar
A miúdo é útil, cando se traballa en máis dunha dimensión , usar produtos de expresións binomiais:
(
x
1
+
y
1
)
n
1
⋯
(
x
d
+
y
d
)
n
d
=
∑
k
1
=
0
n
1
⋯
∑
k
d
=
0
n
d
(
n
1
k
1
)
x
1
k
1
y
1
n
1
−
k
1
…
(
n
d
k
d
)
x
d
k
d
y
d
n
d
−
k
d
.
{\displaystyle (x_{1}+y_{1})^{n_{1}}\dotsm (x_{d}+y_{d})^{n_{d}}=\sum _{k_{1}=0}^{n_{1}}\dotsm \sum _{k_{d}=0}^{n_{d}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}\,x_{1}^{k_{1}}y_{1}^{n_{1}-k_{1}}\;\dotsc \;{\binom {n_{d}}{k_{d}}}\,x_{d}^{k_{d}}y_{d}^{n_{d}-k_{d}}.}
A fórmula anterior pode ser escrita usando a notación multi-índice como segue:
(
x
+
y
)
α
=
∑
ν
≤
α
(
α
ν
)
x
ν
y
α
−
ν
.
{\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.}
Regra xeral de Leibniz
editar
A regra xeral de Leibniz dá a derivada n -ésima dun produto de dúas funcións nunha forma similar á do teorema do binomio: [ 1]
(
f
g
)
(
n
)
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
f
(
n
−
k
)
(
x
)
g
(
k
)
(
x
)
.
{\displaystyle (fg)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x).}
Aquí, o superíndice (n ) indica a derivada n -ésima dunha función,
f
(
n
)
(
x
)
=
d
n
d
x
n
f
(
x
)
{\displaystyle f^{(n)}(x)={\tfrac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)}
.[ 2]
Identidades de ángulos múltiples
editar
Para os números complexos o teorema binomial pódese combinar coa fórmula de Moivre para obter fórmulas de ángulos múltiples para o seno e o coseno . Segundo a fórmula de De Moivre,
cos
(
n
x
)
+
i
sin
(
n
x
)
=
(
cos
x
+
i
sin
x
)
n
.
{\displaystyle \cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right)=\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}.}
e nesa expresión podemos usar o teorema do binomio, por exemplo
(
cos
x
+
i
sin
x
)
2
=
cos
2
x
+
2
i
cos
x
sin
x
−
sin
2
x
=
(
cos
2
x
−
sin
2
x
)
+
i
(
2
cos
x
sin
x
)
,
{\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{2}=\cos ^{2}x+2i\cos x\sin x-\sin ^{2}x=(\cos ^{2}x-\sin ^{2}x)+i(2\cos x\sin x),}
Mais a fórmula de De Moivre identifica o lado esquerdo con
(
cos
x
+
i
sin
x
)
2
=
cos
(
2
x
)
+
i
sin
(
2
x
)
{\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{2}=\cos(2x)+i\sin(2x)}
, así
cos
(
2
x
)
=
cos
2
x
−
sin
2
x
and
sin
(
2
x
)
=
2
cos
x
sin
x
,
{\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(2x)=2\cos x\sin x,}
que son as identidades habituais de ángulo duplo. Do mesmo xeito, xa que
(
cos
x
+
i
sin
x
)
3
=
cos
3
x
+
3
i
cos
2
x
sin
x
−
3
cos
x
sin
2
x
−
i
sin
3
x
,
{\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{3}=\cos ^{3}x+3i\cos ^{2}x\sin x-3\cos x\sin ^{2}x-i\sin ^{3}x,}
A fórmula de De Moivre resulta
cos
(
3
x
)
=
cos
3
x
−
3
cos
x
sin
2
x
and
sin
(
3
x
)
=
3
cos
2
x
sin
x
−
sin
3
x
.
{\displaystyle \cos(3x)=\cos ^{3}x-3\cos x\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(3x)=3\cos ^{2}x\sin x-\sin ^{3}x.}
En xeral,
cos
(
n
x
)
=
∑
k
par
(
−
1
)
k
/
2
(
n
k
)
cos
n
−
k
x
sin
k
x
{\displaystyle \cos(nx)=\sum _{k{\text{ par}}}(-1)^{k/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x}
e
sin
(
n
x
)
=
∑
k
impar
(
−
1
)
(
k
−
1
)
/
2
(
n
k
)
cos
n
−
k
x
sin
k
x
.
{\displaystyle \sin(nx)=\sum _{k{\text{ impar}}}(-1)^{(k-1)/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x.}
Tamén hai fórmulas similares usando os polinomios de Chebyshev .
Serie para e
editar
O número e adoita definirse pola fórmula
e
=
lim
n
→
∞
(
1
+
1
n
)
n
.
{\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}
Aplicando o teorema binomial a esta expresión obtense a serie infinita usual para e :
(
1
+
1
n
)
n
=
1
+
(
n
1
)
1
n
+
(
n
2
)
1
n
2
+
(
n
3
)
1
n
3
+
⋯
+
(
n
n
)
1
n
n
.
{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1+{n \choose 1}{\frac {1}{n}}+{n \choose 2}{\frac {1}{n^{2}}}+{n \choose 3}{\frac {1}{n^{3}}}+\cdots +{n \choose n}{\frac {1}{n^{n}}}.}
O k -ésimo termo desta suma é
(
n
k
)
1
n
k
=
1
k
!
⋅
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
⋯
(
n
−
k
+
1
)
n
k
{\displaystyle {n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}}
Cando n → ∞ , a expresión racional da dereita achégase a 1 , e polo tanto
lim
n
→
∞
(
n
k
)
1
n
k
=
1
k
!
.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}.}
Isto indica que e pódese escribir como unha serie:
e
=
∑
k
=
0
∞
1
k
!
=
1
0
!
+
1
1
!
+
1
2
!
+
1
3
!
+
⋯
.
{\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots .}
Probabilidade
editar
O teorema binomial está intimamente relacionado coa función de masa de probabilidade da distribución binomial negativa . A probabilidade dunha colección (contábel) de ensaios Bernoulli independentes
{
X
t
}
t
∈
S
{\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in S}}
con probabilidade de éxito
p
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle p\in [0,1]}
nos que non aconteza ningún sería
P
(
⋂
t
∈
S
X
t
C
)
=
(
1
−
p
)
|
S
|
=
∑
n
=
0
|
S
|
(
|
S
|
n
)
(
−
p
)
n
.
{\displaystyle P\left(\bigcap _{t\in S}X_{t}^{C}\right)=(1-p)^{|S|}=\sum _{n=0}^{|S|}{|S| \choose n}(-p)^{n}.}
Un límite superior para esta cantidade é
e
−
p
|
S
|
.
{\displaystyle e^{-p|S|}.}
[ 3]
En álxebra abstracta
editar
O teorema binomial é válido de xeito máis xeral para dous elementos x e y nun anel , ou mesmo nun semianel , sempre que xy = yx . Por exemplo, vale para dúas matrices n × n , sempre que esas matrices conmuten; isto é útil para calcular as potencias dunha matriz. [ 4]
↑ Olver, Peter J. (2000). Applications of Lie Groups to Differential Equations . Springer. pp. 318–319. ISBN 9780387950006 .
↑ Spivey, Michael Z. (2019). The Art of Proving Binomial Identities . CRC Press. p. 71. ISBN 978-1351215800 .
↑ Cover, Thomas M.; Thomas, Joy A. (2001-01-01). Data Compression . John Wiley & Sons, Inc. p. 320. ISBN 9780471200611 . doi :10.1002/0471200611.ch5 .
↑ Artin, Algebra , 2nd edition, Pearson, 2018, equation (4.7.11).
Véxase tamén
editar