Teoría de Galois

En matemáticas, particularmente en álxebra abstracta, a teoría de Galois é unha colección de resultados que conectan a teoría de corpos coa teoría de grupos. A teoría de Galois ten aplicación en diversos problemas da teoría de corpos, e que grazas a este desenvolvemento, poden ser reducidos a problemas máis sinxelos da teoría de grupos. A teoría de Galois debe o seu nome ao matemático francés Évariste Galois (1811-1832).

Évariste Galois (1811–1832)

Orixinariamente, Galois empregou os grupos de permutacións para describir como as diferentes raíces dunha ecuación polinómica dada están relacionadas entre elas. O enfoque moderno da teoría de Galois, desenvolvida entre outros por Richard Dedekind, Leopold Kronecker e Emil Artin, inclúe o estudo dos automorfismos e a extensión de corpos. Abstraccións posteriores da teoría de Galois conséguense polas conexións de Galois.

Aplicacións da teoría de Galois

O nacemento da teoría de Galois estivo motivada polo intento de responder a seguinte cuestión:

Por que non existe unha fórmula para a resolución de ecuacións polinómicas de quinto grao (ou superior) en termos dos coeficientes do polinomio, usando operacións alxébricas (suma, resta, multiplicación, división) e a extracción de raíces (raíces cadradas, cúbicas etc), tal como existe para as ecuacións de segundo, terceiro e cuarto grao?

O teorema de Abel-Ruffini que é parte da teoría de Galois, dá unha resposta a esta pregunta. A teoría de Galois proporciona non só unha elegante resposta a esta cuestión, senón que tamén explica en detalle por que é posible resolver ecuacións de grao inferior ao quinto, e por que as solucións son expresables mediante operacións alxébricas e extracción de raíces.

Ademais a teoría de Galois proporciona respostas a problemas clásicos da construtibilidade mediante regra e compás. De feito, a teoría de Galois establece cando é posible construír unha certa lonxitude proporcional a unha dada, e grazas a iso poden responderse as seguintes preguntas:

Que polígonos regulares son construíbles mediante regra e compás?

Por que non é posible a trisección dun ángulo?

O enfoque da teoría de Galois usando o grupo de permutacións

Se se ten un polinomio pode suceder que algunhas das súas raíces estean relacionadas mediante varias ecuacións alxébricas, que cumpran ditas raíces. Por exemplo, pode suceder que para dúas das raíces, A e B, a ecuación A² + 5B³ = 7 sexa certa. A idea central da teoría de Galois é considerar aquelas permutacións das raíces que teñan a propiedade de que calquera ecuación alxébrica satisfeita por elas sexa satisfeita tamén tras a permutación. É importante sinalar que está restrinxida a ecuacións alxébricas con coeficientes racionais. Pódense especificar certos corpos para os coeficientes, pero nos exemplos de abaixo usaranse números racionais.

O conxunto de tales permutacións formarán un grupo de permutacións, tamén chamado grupo de Galois do polinomio (sobre os números racionais).

Primeiro exemplo: ecuación cuadrática

Sexa a ecuación cuadrática

$x^{2}-4x+1=0$

Mediante o uso da fórmula para a ecuación cuadrática sábese que as súas dúas raíces son

$A=2+{\sqrt {3}}$

$B=2-{\sqrt {3}}$

Algunhas das ecuacións alxébricas que satisfán A e B son

$A+B=4$

$AB=1$

En cada unha destas ecuacións é claro que se se intercambian A e B se obteñen ecuacións válidas. Pero ademais isto é certo, aínda que menos obvio, para calquera ecuación alxébrica que satisfán A e B. Para probalo requírese da teoría dos polinomios simétricos.

Conclúese que o grupo de Galois do polinomio $x^{2}-4x+1$ consiste en dúas permutacións: a identidade que deixa A e B iguais, e a transposición, que intercambia A e B. Como grupo, é isomorfo ao grupo cíclico de orde dúas, denotado Z/2Z.

Poderíase expor a obxección de que existe estoutra ecuación satisfeita por A e B:

$A-B-2{\sqrt {3}}=0$

pero que non é certa cando se intercambian os papeis. Con todo hai que observar que non importa pois os seus coeficientes non son racionais; ${\sqrt {3}}$ é irracional.

De xeito parecido pódese falar de calquera polinomio cuadrático $ax^{2}+bx+c$, onde a, b e c son números racionais.

• Se o polinomio ten só unha raíz, por exemplo $x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}$, entón o grupo de Galois é trivial; isto é, contén só á permutación identidade.</nowiki>
• Se ten dúas raíces distintas racionais, por exemplo $x^{2}-3x+2=(x-2)(x-1)$, o grupo é de novo trivial.
• Se ten dúas raíces irracionais (mesmo no caso de que ambas son números complexos), entón o grupo de Galois contén dúas permutaciones, como no exemplo anterior.

Segundo exemplo

Considérese o seguinte polinomio:

$x^{4}-10x^{2}+1$,

que pode escribirse tamén como:

$(x^{2}-5)^{2}-24$

Deséxase describir o grupo de Galois deste polinomio, novamente sobre o corpo dos números racionais. O polinomio ten catro raíces:

$A={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$

$B={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}$

$C=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$

$D=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}$.

Existen 4! = 24 maneiras de permutar estas catro raíces, pero non todas estas permutacións son membros do grupo de Galois. Os membros do grupo de Galois debe preservar calquera ecuación alxébrica con coeficientes racionais A, B, C e D.

Entre esas ecuacións están

$AB=-1$

$AC=1$

$A+D=0$

Séguese entón que, se $\varphi$ é unha permutación que pertence ao grupo de Galois, debe de terse:

$\varphi (B)={\frac {-1}{\varphi (A)}},\quad \varphi (C)={\frac {1}{\varphi (A)}},\quad \varphi (D)=-\varphi (A).$

Isto implica que a permutación está ben definida pola imaxe de A, que o grupo de Galois ten catro elementos, que son:

(A, B, C, D) → (A, B, C, D)

(A, B, C, D) → (B, A, D, C)

(A, B, C, D) → (C, D, A, B)

(A, B, C, D) → (D, C, B, A),

e polo tanto o grupo de Galois é isomorfo ao grupo de Klein.

Grupos solubles e solución por radicais

Dise que unha raíz α se pode expresar en radicais se α é elemento dun corpo K tal que $F=K_{0}\subset K_{1}\subset \cdots \subset K_{s}=K$ onde $K_{i+1}=K_{i}({\sqrt[{n_{i}}]{a_{i}}})\,\exists \,a_{i}\in K_{i},i=0,1,\ldots ,s-i$. Unha ecuación polinómica é soluble por radicais se todas as súas raíces se poden expresar en radicais. Coa teoría de Galois pódese derivar o seguinte teorema:

O polinomio f(x) (no corpo F) é soluble por radicais se e só se o seu grupo de Galois é soluble.

O problema inverso de Galois

O problema inverso de Galois expón se todo grupo finito pode ser o grupo de Galois dalgunha extensión dos números racionais. Este problema, proposto inicialmente no século XIX por Hilbert, permanece sen resolver.

Véxase tamén

Bibliografía

• Baker, A. (2004): An Introduction to Galois Theory, Universidade de Glasgow.
• Völklein, Helmut (1996). Cambridge Studies in Advanced Mathematics, ed. (1996). Groups as Galois Groups: an introduction (en inglés) (1.ª ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-56280-5. 
• Bewersdorff, Jörg (2006). Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective (en inglés) (1.ª ed.). American Mathematical Society. 2006. ISBN 0-8218-3817-2. 

Outros artigos

• Teoría de ecuacións

Ligazóns externas

Algúns titoriais en liña sobre a teoría de Galois:

• http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/galois.html Arquivado 11 de xullo de 2007 en Wayback Machine.
• http://nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=1422
• http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ft.html

Libros de texto en francés, alemán, italiano e inglés:

• http://www.galois-group.net/
• Galois' Theory of Algebraic Equations, 2.ª edición (2016) por Jean-Pierre Tignol. World Scientific