Tensor

En matemáticas, un tensor é (nun sentido informal) unha 'cantidade' ou 'entidade xeométrica' linear xeneralizada que se pode expresar coma un vector multidimensional relativo á escolla dunha base; non obstante, coma obxecto de seu, un tensor é independente de calquera sistema de referencia escollido.

Débese facer fincapé no feito de que moitas estruturas matemáticas xeralmente denotadas como 'tensores' son, en realidade, 'campos tensoriais', cantidades tensoriais que varían dun punto a outro. Porén, para entender mellor os campos tensoriais, débese entender primeiro o que son os tensores.

Importancia e uso

Os tensores son de importancia en física (onde aparece en diversos campos como poden ser o electromagnetismo, o estudo do sólido ríxido ou a teoría da relatividade xeral) e enxeñaría (onde aparece o tensor de tensións ou o tensor de elasticidades).

De xeito máis específico, un tensor de segunda orde que, por exemplo, cuantifique as tensións dun obxecto sólido tridimensional ten unhas compoñentes que se poden expresar como unha matriz 3x3. As tres caras cartesiás dun elemento de volume cúbico infinitesimal están sometidas a unha certa forza. Como as compoñentes do vector forza tamén son 3, entón 3x3=9 son as compoñentes precisas para describiren as tensións que sofre este elemento de volume.

Trasfondo

A palabra tensor introduciuna en 1846 William Rowan Hamilton para describir a operación norma nunha clase determinada de sistema alxébrico (álxebra de Clifford). A palabra empregouse no seu sentido actual por primeira vez no 1899 por Woldemar Voigt.

A notación foi desenvolvida polo 1890 por Gregorio Ricci-Curbastro no seu traballo cálculo diferencial absoluto, e fíxose accesible a moitos matemáticos grazas á publicación do clásico texto italiano do mesmo título escrito por Tullio Levi-Civita no 1900. No século XX a materia comezouse a coñecer como análise tensorial e tomou grande importancia coa introdución da teoría da relatividade xeral de Einstein polo 1915. Na relatividade xeral emprégase a linguaxe de tensores para o desenvolvemento da teoría, e dise que o mesmo Einstein aprendeu a teoría, con gran dificultade, de Levi-Civita.

A escolla do enfoque

Hai dous xeitos de introducir a definición do que é un tensor:

• O xeito que se emprega xeralmente en física é o de definir os tensores en termos de obxectos cuxas compoñentes se transforman de acordo cunhas regras determinadas, introducindo así as ideas de covarianza e contravarianza.
• O xeito matemático de introducir os tensores implica a definición de certo espazo vectorial sen fixar sistema de coordenadas ningún até que se precisen as bases.

Os físicos e enxeñeiros foron os primeiros en decatárense de que vectores e tensores teñen un gran significado físico por si mesmos, alén do sistema coordenado (xeralmente arbitrariamente escollido) no que se expresen esas cantidades. Do mesmo xeito, os matemáticos decatáronse que certas relacións tensoriais son máis doadas de obter nun sistema de coordenadas concreto.

Exemplos

Non todas as relacións da natureza son lineais, pero a meirande parte son diferenciables e, polo tanto, pódense aproximar como sumas de funcións multilineais. Deste xeito, o máis das magnitudes físicas pódense expresar como tensores.

Coma exemplo sinxelo pódese pensar nun barco na auga e tentar describir a resposta do mesmo a unha forza externa que se lle aplique. A forza é un vector e o barco responderá cunha aceleración, que tamén é un vector. Esa aceleración non ten por que ir na mesma dirección que a forza, pero a relación entre a forza aplicada e a aceleración sufrida polo barco é linear en mecánica clásica. A devandita relación é un tensor de tipo (1,1) (o que quere dicir, máis ou menos, que transforma un vector noutro). O tensor deste exemplo pódese representar como unha matriz que, ó multiplicar un vector, dá como resultado outro. Do mesmo xeito que os números que representan un vector (as compoñentes do mesmo) cambian se trocamos o sistema de coordenadas, os números da matriz que representan o tensor tamén cambiarán ó trocármonos o sistema.

Na enxeñaría, as tensións nun sólido ríxido ou nun fluído tamén son magnitudes tensoriais. A propia palabra tensor vén do latín e significa algo que causa tensión. Se seleccionamos un elemento de superficie particular dentro do material, o material nun lado da superficie aplicará unha forza no outro lado. En xeral, esta forza non será perpendicular á superficie, senón que dependerá da orientación da superficie dun xeito linear. Isto descríbese cun tensor de tipo (2,0), ou dun xeito máis preciso, cun campo tensorial de tipo (2,0) xa que as tensións poden mudar dun punto a outro.

Pódense clasificar as magnitudes xeométricas e físicas considerando os graos de liberdade inherentes á súa descrición. As magnitudes escalares son aquelas que se poden representar cun só número, como a presión, a masa ou a temperatura. Tamén hai magnitudes vectoriais, como a forza, que requiren unha ringleira de números para describilas. Por último, magnitudes tales como as formas cadráticas requiren unha matriz para a súa representación.

En realidade, a notación tensorial é moi xeral e pódese aplicar á maioría dos casos mencionados no parágrafo anterior, é dicir, tanto escalares coma vectores son casos especiais dos tensores. A caracterísitica que fai distinguir un escalar dun vector (ou doutros tensores, en xeral) é o número de índices que o representa. Este número é o que se chama rango (ou orde) do tensor. Deste xeito, os escalares son tensores de rango cero (sen índice ningún) e os vectores tensores de rango un.

Outro exemplo dun tensor é o tensor de curvatura de Riemann que aparece na teoría da relatividade xeral, que é un tensor de rango 4, tendo cada índice 4 dimensións (tres espaciais e unha temporal). Esta magnitude ten 256 compoñentes, aínda que por razóns das simetrías físicas só 20 delas son independentes das demais, simplificando así o traballo con esta magnitude.

Introdución aos distintos enfoques

Hai distintos enfoques equivalentes para estudar os tensores, aínda que a equivalencia entre eles non é evidente se non se traballa máis a fondo con eles.

• O enfoque clásico

O enfoque clásico ve os tensores como matrices multidimensionais que xeneralizan tanto os escalares coma os vectores ou as matrices. As compoñentes do tensor serían así os valores de cada cela desa matriz xeneralizada. Esta idea pódese xeneralizar a campos tensoriais cando os elementos do tensor son funcións ou diferenciais no canto de números.

Así, un tensor xeral de orde (n,m) exprésase como

$T_{\left[j_{1},j_{2},j_{3},...j_{m}\right]}^{\left[i_{1},i_{2},i_{3},...i_{n}\right]}$

Se pasamos a un novo sistema de coordenadas (${\bar {x}}^{i}$), dende o sistema orixinal ($x^{i}$), tense que o tensor transforma segundo

${\bar {T}}_{\left[j_{1},j_{2},...j_{q}\right]}^{\left[i_{1},i_{2},...i_{p}\right]}=T_{\left[s_{1},s_{2},...s_{q}\right]}^{\left[r_{1},r_{2},...r_{p}\right]}{\frac {\partial {\bar {x}}^{i_{1}}}{\partial x^{r_{1}}}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{i_{2}}}{\partial x^{r_{2}}}}...{\frac {\partial {\bar {x}}^{i_{p}}}{\partial x^{r_{p}}}}{\frac {\partial x^{s_{1}}}{\partial {\bar {x}}^{j_{1}}}}{\frac {\partial x^{s_{2}}}{\partial {\bar {x}}^{j_{2}}}}...{\frac {\partial x^{s_{q}}}{\partial {\bar {x}}^{j_{q}}}}.$

onde se empregou o convenio de Einstein.

• O enfoque moderno

O enfoque moderno (libre de compoñentes) ve os tensores como obxectos abstractos representando un tipo definido de concepto multilinear. As súas propiedades pódense derivar da súa definición como funcións lineares ou incluso de xeito máis xeral e as regras para manipular tensores xorden como unha extensión da álxebra linear á álxebra multilinear. Este tratamento tentou substituír o anterior para un estudo máis avanzado, o que carrexa maiores complicacións cando se tentan dar interpretacións xeométricas.

• O enfoque intermedio para os tensores é unha mestura de ambos os dous enfoques explicados anteriormente, creando unha ponte entre eles e amosando a equivalencia.

Densidades tensoriais

Tamén se pode ter unha "densidade" para un campo tensorial. Un tensor con densidade r transfórmase coma un tensor ordinario baixo cambios de coordenadas agás polo feito de que tamén hai que facer o produto polo jacobiano á r-ésima potencia.

Covarianza e Contravarianza

Para achegármonos ao concepto de covarianza e contravarianza primeiro temos que dar algunhas definicións.

Aceptemos inicialmente as seguintes definicións.

Un tensor contravariante de segunda orde é aquel que se transforma segundo

$A'^{ij}={\frac {\partial x_{i}^{\prime }}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial x_{j}^{\prime }}{\partial x_{l}}}A^{kl}$ (1)

Un tensor covariante de segunda orde é aquel que se transforma segundo

$C_{ij}^{\prime }={\frac {\partial x_{k}}{\partial x_{i}^{\prime }}}{\frac {\partial x_{l}}{\partial x_{j}^{\prime }}}C_{kl}$ (2)

Por un momento, ignoremos a posición dos índices. Sexa ${x_{k}}$ unha base calquera do espazo e apliquemos unha transformación de coordenadas que nos leve á nova base ${x_{k}^{\prime }}$. Supoñamos que o queremos facer mediante unha transformación ortogonal para simplificar o cálculo.

Por tratarse dunha transformación ortogonal a lonxitude non se ve afectada. É dicir, a cantidade $A_{i}x_{i}\equiv A_{j}^{\prime }x_{j}^{\prime }$ é un invariante.

Debe existir unha certa relación entre a base antiga e máis a nova, que virá dada por unha matriz de cambio 'O' que nos permitirá recuperar as coordenadas da base anterior dende as coordenadas da nova base

$x_{i}=O_{ij}x_{j}^{\prime }$

Como se trata dunha transformación ortogonal ($O^{-1}\equiv O^{T}$), o cambio inverso é

$x_{j}^{\prime }=O_{ji}x_{i}$

Isto quere dicir que o vector 'A' virá dado na nova base por

$A_{i}=O_{ji}A_{j}^{\prime }$

Ou o que é o mesmo, $A=O^{T}A^{\prime }$ ou ben $A^{\prime }=OA$.

Unha vez quedou claro como imos transformar o noso vector pasemos aos tensores. Supoñamos que temos un n-tensor (tensor de orde n) $T_{i_{1}\ldots i_{n}}$, este obxecto transfórmase coma o produto de n vectores. Isto significa que existirá unha relación do tipo

$T_{j_{1},...,j_{n}}=O_{j_{1}i_{1}}...O_{j_{n}i_{n}}T_{i_{1},...,i_{n}}$ (3)

Empregando esta notación, as dúas ecuacións do principio quedan como

$A_{j_{1}j_{2}}^{\prime }=O_{j_{1}i_{1}}O_{j_{2}i_{2}}A_{i_{1}i_{2}}$

$C_{j_{1}j_{2}}^{\prime }=O_{i_{1}j_{1}}O_{i_{2}j_{2}}C_{i_{1}i_{2}}$

É dicir, un n-tensor compórtase coma o vector A pero de xeito xeneralizado a n dimensións, agora a matriz de cambio é un produto de n matrices que nos din, de xeito exacto, como se transforma o noso n-tensor.

Un exemplo sinxelo de n-tensor é o produto de n vectores distintos, $T_{i_{1},...,i_{n}}=A_{i_{1}}B_{i_{2}}...X_{i_{n}}$ xa que, baseándonos no escrito anteriormente para o vector A, isto cumpre o descrito para o n-tensor.

O primeiro dos dous 2-tensores (A) transfórmase coma o segundo (C) pero empregando a matriz trasposta no canto da matriz orixinal 'O' (se non estivesemos en coordenadas ortogonais, a matriz sería a inversa e non a trasposta). Logo atopamos un problema de notación ao estarmos a chamar igual a dúas cousas distintas. Para resolvermos este problema ós tensores de tipo

$A'^{j_{1}j_{2}}=O_{j_{1}i_{1}}O_{j_{2}i_{2}}A^{i_{1}i_{2}}$

chamámolos tensores contravariantes porque se transforman coa matriz inversa e escribimos os índices das súas compoñentes enriba, como un superíndice.

Aos tensores que se transforman coa matriz orixinal chamámolos covariantes e os índices escríbense embaixo.

No espazo euclídeo o tensor métrico $g_{ij}$ é a matriz identidade. Polo tanto, verifícase trivialmente que $g_{ij}=g_{ji}$ e, polo tanto, tensores covariantes e contravariantes empregan a mesma matriz de transformación de modo que non é preciso facer distinción algunha, pero isto non ocorre en xeral, por exemplo, no espazo minkowskiano da relatividade especial, o tensor métrico é $g_{\alpha \beta }=diag(-1,1,1,1)$.