Series de Eisenstein

As series de Eisenstein, que reciben o nome do matemático alemán Gotthold Eisenstein, son formas modulares particulares con expansións de series infinitas que se poden escribir directamente. Definidas orixinalmente para o grupo modular, as series de Eisenstein pódense xeneralizar na teoría das formas automorfas.

Series de Eisenstein para o grupo modular

A parte real de G₆ en función de q no disco unitario. Os números negativos están en negro.

G₆

Sexa τ un número complexo con parte imaxinaria estritamente positiva. Definamos a serie holomorfa de Eisenstein G_2k(τ) de peso 2k, onde k ≥ 2 é un número enteiro, pola seguinte serie:

$G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{(m+n\tau )^{2k}}}.$

Esta serie converxe absolutamente a unha función holomorfa de τ no semiplano superior e a súa expansión de Fourier indicada a continuación mostra que se estende a unha función holomorfa en τ = i∞. É un feito notable que a serie Eisenstein é unha forma modular. De feito, a propiedade clave é a súa covarianza SL(2, $\mathbb {Z}$). Explicitamente se a, b, c, d ∈ $\mathbb {Z}$ e ad − bc = 1 entón

$G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau )$

Nótese que k ≥ 2 é necesario para que a serie converxa absolutamente, mentres que k debe ser par, se non, a suma desaparece porque os termos (-m, -n) e (m, n) anúlanse. Para k = 2 a serie converxe mais non é unha forma modular.

Relación con invariantes modulares

As invariantes modulares g₂ e g₃ dunha curva elíptica veñen dados polas dúas primeiras series de Eisenstein:

${\begin{aligned}g_{2}&=60G_{4}\\g_{3}&=140G_{6}.\end{aligned}}$

Existen expresións destas dúas funcións en termos das funcións theta.

Relación de recorrencia

Calquera forma modular holomorfa para o grupo modular pódese escribir como un polinomio en G₄ e G₆. En concreto, a orde superior G_2k pódese escribir en termos de G₄ e G₆ mediante unha relación de recorrencia. Sexa d_k = (2k + 3)k! G_{2k + 4}, polo que, por exemplo, d₀ = 3G₄ e d₁ = 5G₆. Daquela o d_k satisfai a relación

$\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}d_{k}d_{n-k}={\frac {2n+9}{3n+6}}d_{n+2}$

para todo n ≥ 0 . Onde (n
k) é o coeficiente binomial.

Os d_k tamén aparecen na expansión en serie para as funcións elípticas de Weierstrass:

${\begin{aligned}\wp (z)&={\frac {1}{z^{2}}}+z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {d_{k}z^{2k}}{k!}}\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }(2k+1)G_{2k+2}z^{2k}.\end{aligned}}$

Series de Fourier

Definimos q = e^2πiτ, (algúns libros máis antigos definen que q como o nome q = e^πiτ, mais agora q = e^2πiτ é o estándar.) Daquela a serie de Fourier da serie de Eisenstein é

$G_{2k}(\tau )=2\zeta (2k)\left(1+c_{2k}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}\right)$

onde os coeficientes c_2k están dados por

${\begin{aligned}c_{2k}&={\frac {(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)!\zeta (2k)}}\\[4pt]&={\frac {-4k}{B_{2k}}}={\frac {2}{\zeta (1-2k)}}.\end{aligned}}$

Onde B_n son os números de Bernoulli, ζ(z) é a función zeta de Riemann e σ_p(n) é a función suma dos divisores. En particular temos

${\begin{aligned}G_{4}(\tau )&={\frac {\pi ^{4}}{45}}\left(1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}\right)\\[4pt]G_{6}(\tau )&={\frac {2\pi ^{6}}{945}}\left(1-504\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{5}(n)q^{n}\right).\end{aligned}}$

A suma sobre q pódese representar como unha serie de Lambert e teríamos

$\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}$

para complexos arbitrarios |q| < 1 e a. Cando se traballa coa q-expansión da serie de Eisenstein, adoita introducirse esta notación alternativa:

${\begin{aligned}E_{2k}(\tau )&={\frac {G_{2k}(\tau )}{2\zeta (2k)}}\\&=1+{\frac {2}{\zeta (1-2k)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2k-1}q^{n}}{1-q^{n}}}\\&=1-{\frac {4k}{B_{2k}}}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}\\&=1-{\frac {4k}{B_{2k}}}\sum _{d,n\geq 1}n^{2k-1}q^{nd}.\end{aligned}}$

Identidades coa serie de Eisenstein

Como funcións theta

Fonte:

Dado q = e^2πiτ, temos

${\begin{aligned}E_{4}(\tau )&=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}\\E_{6}(\tau )&=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}\\E_{8}(\tau )&=1+480\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{7}q^{n}}{1-q^{n}}}\end{aligned}}$

e definimos as funcións theta de Jacobi, que normalmente usan a función nome q = e^πiτ,

${\begin{aligned}a&=\theta _{2}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta _{10}(0;\tau )\\b&=\theta _{3}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta _{00}(0;\tau )\\c&=\theta _{4}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta _{01}(0;\tau )\end{aligned}}$

onde θ_m e ϑ_ij representan notacións alternativas. Entón temos as relacións simétricas,

${\begin{aligned}E_{4}(\tau )&={\tfrac {1}{2}}\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)\\[4pt]E_{6}(\tau )&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)^{3}-54(abc)^{8}}{2}}}\\[4pt]E_{8}(\tau )&={\tfrac {1}{2}}\left(a^{16}+b^{16}+c^{16}\right)=a^{8}b^{8}+a^{8}c^{8}+b^{8}c^{8}\end{aligned}}$

Unha transformación alxébrica básica implica inmediatamente

$E_{4}^{3}-E_{6}^{2}={\tfrac {27}{4}}(abc)^{8}$

unha expresión relacionada co discriminante modular,

$\Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=(2\pi )^{12}\left({\tfrac {1}{2}}abc\right)^{8}$

Produtos das series de Eisenstein

As series de Eisenstein forman os exemplos máis explícitos de formas modulares para o grupo modular completo SL(2, $\mathbb {Z}$). Dado que o espazo das formas modulares de peso 2k ten dimensión 1 para 2k = 4, 6, 8, 10, 14, os diferentes produtos das series de Eisenstein que teñen eses pesos teñen que ser iguais a un múltiplo escalar. De feito, obtemos as identidades:

$E_{4}^{2}=E_{8},\quad E_{4}E_{6}=E_{10},\quad E_{4}E_{10}=E_{14},\quad E_{6}E_{8}=E_{14}.$

Usando as q-expansións da serie de Eisenstein indicadas anteriormente, poden ser reformuladas como identidades que implican as sumas de potencias dos divisores:

$\left(1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}\right)^{2}=1+480\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{7}(n)q^{n},$

polo tanto

$\sigma _{7}(n)=\sigma _{3}(n)+120\sum _{m=1}^{n-1}\sigma _{3}(m)\sigma _{3}(n-m),$

e do mesmo xeito para os demais. A función theta dunha retícula unimodular par de oito dimensións Γ é unha forma modular de peso 4 para o grupo modular completo, que dá as seguintes identidades:

$\theta _{\Gamma }(\tau )=1+\sum _{n=1}^{\infty }r_{\Gamma }(2n)q^{n}=E_{4}(\tau ),\qquad r_{\Gamma }(n)=240\sigma _{3}(n)$

para o número r_Γ(n) de vectores de lonxitude cadrada 2n na retícula raíz do tipo E₈.

Usando a relación de recorrencia anterior, todos os E_2k superiores poden expresarse como polinomios en E₄ e E₆ . Por exemplo:

${\begin{aligned}E_{8}&=E_{4}^{2}\\E_{10}&=E_{4}\cdot E_{6}\\691\cdot E_{12}&=441\cdot E_{4}^{3}+250\cdot E_{6}^{2}\\E_{14}&=E_{4}^{2}\cdot E_{6}\\3617\cdot E_{16}&=1617\cdot E_{4}^{4}+2000\cdot E_{4}\cdot E_{6}^{2}\\43867\cdot E_{18}&=38367\cdot E_{4}^{3}\cdot E_{6}+5500\cdot E_{6}^{3}\\174611\cdot E_{20}&=53361\cdot E_{4}^{5}+121250\cdot E_{4}^{2}\cdot E_{6}^{2}\\77683\cdot E_{22}&=57183\cdot E_{4}^{4}\cdot E_{6}+20500\cdot E_{4}\cdot E_{6}^{3}\\236364091\cdot E_{24}&=49679091\cdot E_{4}^{6}+176400000\cdot E_{4}^{3}\cdot E_{6}^{2}+10285000\cdot E_{6}^{4}\end{aligned}}$

Moitas relacións entre produtos da serie de Eisenstein pódense escribir dun xeito elegante usando determinantes de Hankel, por exemplo, a identidade de Garvan

$\left({\frac {\Delta }{(2\pi )^{12}}}\right)^{2}=-{\frac {691}{1728^{2}\cdot 250}}\det {\begin{vmatrix}E_{4}&E_{6}&E_{8}\\E_{6}&E_{8}&E_{10}\\E_{8}&E_{10}&E_{12}\end{vmatrix}}$

onde

$\Delta =(2\pi )^{12}{\frac {E_{4}^{3}-E_{6}^{2}}{1728}}$

é o discriminante modular.

Identidades de Ramanujan

Srinivasa Ramanujan deu varias identidades interesantes entre as primeiras series de Eisenstein usando a diferenciación. Sexan

${\begin{aligned}L(q)&=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nq^{n}}{1-q^{n}}}&&=E_{2}(\tau )\\M(q)&=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}&&=E_{4}(\tau )\\N(q)&=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}&&=E_{6}(\tau ),\end{aligned}}$

daquela

${\begin{aligned}q{\frac {dL}{dq}}&={\frac {L^{2}-M}{12}}\\q{\frac {dM}{dq}}&={\frac {LM-N}{3}}\\q{\frac {dN}{dq}}&={\frac {LN-M^{2}}{2}}.\end{aligned}}$

Estas identidades, como as identidades entre as series, producen identidades de convolución aritméticas que implican a función suma de divisores. Seguindo a Ramanujan, para poñer estas identidades na forma máis simple é necesario estender o dominio de σ_p(n) para incluír o cero, configurando

${\begin{aligned}\sigma _{p}(0)={\tfrac {1}{2}}\zeta (-p)\quad \Longrightarrow \quad \sigma (0)&=-{\tfrac {1}{24}}\\\sigma _{3}(0)&={\tfrac {1}{240}}\\\sigma _{5}(0)&=-{\tfrac {1}{504}}.\end{aligned}}$

Logo, por exemplo

$\sum _{k=0}^{n}\sigma (k)\sigma (n-k)={\tfrac {5}{12}}\sigma _{3}(n)-{\tfrac {1}{2}}n\sigma (n).$

Xeneralizacións

As formas automorfas xeneralizan a idea de formas modulares para os grupos de Lie xenéricos; e as series de Eisenstein xeneralízanse dun xeito similar.

Definindo O_K como o anel de números enteiros dun campo numérico alxébrico totalmente real K, defínese entón o grupo modular de Hilbert–Blumenthal como PSL(2,O_K). Podemos entón asociar unha serie de Eisenstein a cada cúspide do grupo modular Hilbert–Blumenthal.

Véxase tamén

Bibliografía

• Akhiezer, Naum Illyich (1970). Elements of the Theory of Elliptic Functions (en Russian). Moscow.  Translated into English as Elements of the Theory of Elliptic Functions. AMS Translations of Mathematical Monographs 79. Providence, RI: American Mathematical Society. 1990. ISBN 0-8218-4532-2. 
• Apostol, Tom M. (1990). Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory (2nd ed.). New York, NY: Springer. ISBN 0-387-97127-0. 
• Chan, Heng Huat; Ong, Yau Lin (1999). On Eisenstein Series (PDF). Proc. Amer. Math. Soc. 127. pp. 1735–1744. doi:10.1090/S0002-9939-99-04832-7. 
• Iwaniec, Henryk (2002). Spectral Methods of Automorphic Forms. Graduate Studies in Mathematics 53 (2nd ed.). Providence, RI: American Mathematical Society. ch. 3. ISBN 0-8218-3160-7. 
• Serre, Jean-Pierre (1973). A Course in Arithmetic. Graduate Texts in Mathematics 7 (transl. ed.). New York & Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 9780387900407.