Raíz (matemáticas)

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Raíz (homónimos).

En Matemáticas, a raíz enésima dun número x é un número r que elevado á enésima potencia é igual a x

$r^{n}=x,$

onde n é o índice da raíz. Unha raíz de índice 2 chámase raíz cadrada e a de índice 3, raíz cúbica. As raíces de índice superior chámanse empregando o ordinal, como raíz cuarta ou raíz quinta.

Por exemplo:

• 2 é a raíz cadrada de 4, porque 2² = 4.
• −2 tamén é raíz cadrada de 4, porque (−2)² = 4.

Na análise matemática, as raíces son tratadas como un caso particular de potenciación, onde o exponente é unha fracción:

${\sqrt[{n}]{x}}\,=\,x^{1/n}$

As raíces adoitan ser escritas empregando o símbolo ${\sqrt {\,\,}}$, con ${\sqrt {x}}\!\,$ indicando unha raíz cadrada, ${\sqrt[{3}]{x}}\!\,$ unha raíz cúbica, ${\sqrt[{4}]{x}}$ unha raíz cuarta e así sucesivamente. Na expresión ${\sqrt[{n}]{x}}$, n é o índice e x é o radicando. Calquera expresión que conteña unha raíz é chamada expresión radical.

Historia

A orixe do símbolo de raíz √ é dubidosa. Moitos expertos, incluíndo Leonhard Euler, cren que procede da letra "r", inicial da palabra latina "radix", que significa "raíz". O símbolo aparece impreso por vez primeira, sen o trazo horizontal, en 1525 na obra Die Coss do matemático alemán Christoff Rudolff.

Propiedades

As catro raíces cuartas de -1, ningunha delas real

As tres raíces cúbicas de −1,
unha delas real negativa

Todos os números reais positivos teñen raíz real enésima. Se o índice da raíz é impar esta raíz é un único número positivo. Se o índice é par a raíz é dobre (un número e o seu oposto).

Os números reais negativos non teñen raíz real se o índice da raíz é par e teñen como raíz un único número real negativo se o índice da raíz é impar.

A raíz dun número real que non sexa potencia perfecta é un número irracional.

Un número complexo distinto de 0 ten n raíces distintas de índice n.

Os números reais cumpren:

${\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\,,$

${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\,.$

${\sqrt[{n}]{a^{m}}}=\left(a^{m}\right)^{\frac {1}{n}}=a^{\frac {m}{n}}.$

Porén, pode haber problemas no caso dos números complexos. Por exemplo:

${\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}=-1$

pero

${\sqrt {-1\times -1}}=1$

se tomamos un certo valor da raíz.

Simplificación de expresións radicais

Unha expresión radical está simplificada se

• Ningún factor do radicando pode ser escrito como potencia de expoñente maior có índice da raíz.
• Non hai fraccións baixo o símbolo de raíz.
• Non hai expresións radicais no denominador.

Por exemplo, para simplificar a expresión ${\sqrt {\tfrac {32}{5}}}$ podemos buscar un cadrado perfecto dentro da raíz e sacalo fóra:

${\sqrt {\tfrac {32}{5}}}={\sqrt {\tfrac {16\cdot 2}{5}}}=4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}$

Logo, ao haber unha fracción no radical cambiamos como segue:

$4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}$

Finalmente quitamos a raíz do denominador:

${\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}$

Cando no denominador hai unha suma de raíces pódese atopar un factor polo que multiplicar numerador e denominador para simplificar a expresión, o que se denomina racionalizar:

${\frac {1}{{\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}})({\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}})}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{a+b}}\,.$

Serie infinita

A raíz pode ser representada coa serie:

$(1+x)^{s/t}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{n-1}(s-kt)}{n!t^{n}}}x^{n}$

con $|x|<1$.

Función raíz

Sexa n un número natural non nulo. A aplicación x → xⁿ define unha función, de $\mathbb {R}$ en $\mathbb {R}$ se n é impar, e de $\mathbb {R} ^{+}=[0,\infty ]$ se $n$ é par. Chámase raíz enésima, ou raíz de índice n á súa función recíproca, e indícase: $y={\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}$.

No gráfico seguinte, están debuxadas as gráficas das funcións definidas por algunhas raíces, así como das súas funcións recíprocas, no intervalo [0;1]. A recta de ecuación y = x é o eixe de simetría entre cada curva e a curva da súa recíproca.

Cambiando de escala:

Véxase tamén

Outros artigos

• Raíz cadrada
• Lista de funcións matemáticas