Paradoxo de San Petersburgo
En teoría da probabilidade e teoría de decisións, o Paradoxo de San Petersburgo é un paradoxo que mostra unha variábel aleatoria cuxo valor é, cunha probabilidade alta, moi baixo, mais cun valor agardado infinito. Nesta situación, a teoría de decisións parece recomendar unha acción que ningunha persoa racional seguiría. Esa aparencia desaparece cando se ten en conta a utilidade.
O paradoxo foi enunciado por Daniel Bernoulli en 1738.
Formulación editar
Proponse un xogo de azar no que pagas unha aposta inicial fixa. Consiste no lanzamento dunha moeda repetidamente ata que aparece a primeira "cara". Unha vez aparece, gañas 1 céntimo se a cara aparece no primeiro lanzamento, 2 céntimos se aparece no segundo, 4 céntimos se aparece no terceiro, 8 no cuarto etc., dobrando o premio en cada lanzamento adicional. Así, gañarías 2k−1 céntimos se a moeda debe lanzarse k veces.
¿Canto estarías disposto a pagar para xogar a este xogo?
Comentario editar
A probabilidade de que a primeira "cara" apareza no lanzamento k é de:
A probabilidade de que gañes máis de $10.24 (por exemplo, 210 céntimos) é menor que unha entre mil. A probabilidade de que gañes máis de $1 é menor que unha entre cen. A pesar diso ¡o valor agardado do premio é infinito!
Para calculalo:
Esta suma diverxe a infinito. Así, de acordo á teoría tradicional do valor agardado, non importa canto pagues por entrar no xogo, porque sairás gañando a longo prazo (imaxina pagar 1 mil millóns cada vez, para gañar a maior parte das veces só un par de céntimos). A idea consiste en que as raras ocasións nas que gañes unha cantidade elevada pagarán sobradamente os centos de billóns que terás que pagar para xogar.
Se se aplica inxenuamente a teoría de decisións sen ter en conta a utilidade, obtense que pagaría a pena investir en calquera aposta inicial, sen importar a súa contía. Na práctica, ningunha persoa racional pagaría máis duns poucos céntimos para xogar.
Débese considerar ademais que ninguén ten nin o tempo nin o diñeiro necesario para xogar unha e outra vez para chegar ao longo prazo, ou aínda a unha aproximación boa do mesmo.
Véxase tamén editar
Bibliografía editar
- Bernoulli, Danel: 1738, "Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk", Econometrica vol 22 (1954), pp23–36.