Media metálica

Media metálica (proporcións metálicas)
N	Proporción	Valor	Nome
0	0 + √4/2	1
1	1 + √5/2	1.618033989	Ouro
2	2 + √8/2	2.414213562	Prata
3	3 + √13/2	3.302775638	Bronce
4	4 + √20/2	4.236067978
5	5 + √29/2	5.192582404
6	6 + √40/2	6.162277660
7	7 + √53/2	7.140054945
8	8 + √68/2	8.123105626
9	9 + √85/2	9.109772229
10	10+ √104/2	10.099019513
⋮
n	n + √n2+4/2

  As medias metálicas (ou ratios ou constantes) dos sucesivos números naturais son as fraccións continuas con coeficientes constantes:

$n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+\ddots \,}}}}}}}}=[n;n,n,n,n,\dots ]={\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}.$

A proporción áurea (1.618...) é a media metálica situada entre 1 e 2, mentres que a proporción de prata (2.414...) é a media metálica situada entre 2 e 3. O termo "proporción de bronce" (3.303...), e outros nomes de metais (como cobre ou níquel), empréganse ocasionalmente para denominar as medias metálicas posteriores. Os valores das dez primeiras medias metálicas móstranse na táboa da dereita. Observe que cada media metálica é unha raíz da ecuación cadrática simple: $x^{2}-nx=1$, onde $n$ é calquera número natural positivo.

A proporción áurea está conectada co pentágono (primeira diagonal/lado), a proporción de prata está conectada co octógono (segunda diagonal/lado). A proporción áurea está conectada aos números de Fibonacci, a proporción de prata está conectada aos números de Pell, e a proporción de bronce está conectada a (secuencia A006190 na OEIS).

Así para cada $n$ temos as recorrencias lineais de segunda orde: $a_{i}=na_{i-1}+a_{i-2},{\text{ con }}a_{0}=0,a_{1}=1.$

Fibonacci (ouro): 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ...

Pell (prata): 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70 ...

(secuencia A006190 na OEIS) (bronce): 0, 1, 3, 10, 33, 109 ...

Propiedades

Estas propiedades só son válidas para números enteiros. Para os non enteiros as propiedades son lixeiramente diferentes.

Chamamos $S_{n}$ á media metálica relacionada coa constante n.

Sendo ${\dfrac {p_{i}}{q_{i}}}$ os converxentes da fracción continua $[n;n,n,n,n,\dots ]$ temos que

${S_{n}}=\lim _{i\to \infty }{\dfrac {p_{i}}{q_{i}}}$

A recorrencia asociada a cada $S_{n}$ son os denominadores $q_{i}$ (ou os numeradores $p_{i}$ excluído o cero) dos converxentes da fracción continua $[n;n,n,n,n,\dots ]$.

Sendo $a_{i}=na_{i-1}+a_{i-2},{\text{ con }}a_{0}=0,a_{1}=1.$ a recorrencia asociada a $S_{n}$ temos que

${S_{n}}=\lim _{i\to \infty }{\dfrac {a_{i}}{a_{i-1}}}$

Unha relación para a inversa da media metálica $S_{n}$

${\frac {1}{S_{n}}}=S_{n}-n$

por tanto os inversos das medias metálicas son a parte decimal do número correspondente.

Se descompomos $S_{n}$ en para enteira a e parte fraccional b, temos:

$S_{n}=a+b$, e resulta

$S_{n}^{2}=a^{2}+nb+1.$

As medias metálicas de n en forma de integral,

$S_{n}=\int _{0}^{n}{\left({\dfrac {x}{2{\sqrt {x^{2}+4}}}}+{\dfrac {n+2}{2n}}\right)}\,dx.$

En relación a funcións hiperbólicas,

${\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}=e^{\operatorname {arsinh(n/2)} }$

Expresións trigonométricas

Expresión trigonométrica
N	Fórmula	Polígono regular asociado
1	$2\cos {\frac {\pi }{5}}$	pentágono
2	$\tan {\frac {3\pi }{8}}$	octógono
3	$8\cos {\frac {\pi }{13}}\cos {\frac {3\pi }{13}}\cos {\frac {4\pi }{13}}$	tridecágono
4	$8\cos ^{3}{\frac {\pi }{5}}$

Construción xeométrica

A media metálica $S_{n}$ para calquera número enteiro dado $n$ pódese construír xeométricamente do seguinte xeito. Defínese un triángulo rectángulo con lados $A$ e $B$ tendo lonxitudes $1$ e $n/2$, respectivamente. A media metálica $S_{n}$ é simplemente a suma da lonxitude de $B$ e a hipotenusa $H$.

Para $n=1$ ,

N = 1

$H={\sqrt {(n/2)^{2}+1^{2}}}={\sqrt {5/4}}=1.1180339...$

e logo

$S_{1}=B+H=1/2+1.1180339...=1.6180339...=$ φ.

Con $n=2$ dá a proporción de prata.

N = 2

$H={\sqrt {(2/2)^{2}+1^{2}}}={\sqrt {2}}=1.4142135...$

$S_{2}=B+H=2/2+1.4142135...=2.4142135...$

A proporción de bronce con $n=3$,

N = 3

$H={\sqrt {(3/2)^{2}+1^{2}}}={\sqrt {13/4}}=1.8027756...$

$S_{3}=B+H=3/2+1.8027756...=3.3027756...$

Os argumentos non enteiros ás veces producen triángulos cunha media que é un número enteiro. Un exemplo con $n=1.5$, temos

N = 1,5

$H={\sqrt {(1.5/2)^{2}+1^{2}}}={\sqrt {1.5625}}=1.25$

$S_{1.5}=B+H=1.5/2+1.25=2$

que é simplemente unha versión reducida do triángulo pitagórico 3–4–5.

Véxase tamén

Bibliografía

• Stakhov, Alekseĭ Petrovich (2009). The Mathematics of Harmony: From Euclides to Contemporary Mathematics and Computer Science, p. 228, 231.World Scientific.ISBN 9789812775832.

Ligazóns externas

• Cristina-Elena Hrețcanu and Mircea Crasmareanu (2013). "Metallic Structures on Riemannian Manifolds", Revista de la Unión Matemática Argentina.
• Rakočević, Miloje M. "Further Generalization of Golden Mean in Relation to Euler's 'Divine' Equation", Arxiv.org.