Función signo

En matemáticas, a función signo é unha función que devolve o signo dun número real. En notación matemática a función signo a miúdo represéntase como $\operatorname {sgn}(x)$ . ^[1]

Definición editar

A función signo dun número real $x$ é unha función por intervalos que se define como segue: ^[2]

\operatorname {sgn} x:={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}

Os números con función signo 1 son números positivos.

Os números con función signo -1 son números negativos.

Propiedades editar

A función signo é discontínua en $x = 0$ .

Calquera número real pódese expresar como o produto do seu valor absoluto e a súa función signo $x=|x|\operatorname {sgn} x.$

Daquela, cando $x$ non é igual a 0 temos $\operatorname {sgn} x={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}$ .

Tamén temos: $\operatorname {sgn} x^{n}=(\operatorname {sgn} x)^{n}$ .

A función signo é a derivada da función valor absoluto, sen incluír o cero. ${\frac {{\text{d}}|x|}{{\text{d}}x}}=\operatorname {sgn} x{\text{ para }}x\neq 0.$

A función signo é diferenciable con valor 0 en tódalas partes agás en $x = 0$ .

Outra identidade, usando a función de Heaviside sería $\operatorname {sgn} x=2H(x)-1$ .

Signo complexo editar

A función signo pódese xeneralizar a números complexos como:

\operatorname {sgn} z={\frac {z}{|z|}}

para calquera número complexo

z

agás

z=0

. O signo dun número complexo dado

z

é o punto da circunferencia unitaria do plano complexo que está máis próximo a

z

. Entón, para

z\neq 0

,

\operatorname {sgn} z=e^{i\arg z},

onde

\arg

é o argumento do número complexo.

Por razóns de simetría, e para manter unha axeitada xeneralización da función signo nos reais, tamén no dominio complexo adóitase definir, para $z=0,\operatorname {sgn}(0+0i)=0$ .

Outra xeneralización da función de signo para expresións reais e complexas é ${\text{csgn}}$ , ^[3] que se define en función do signo das partes real ${\text{Re}}(z)$ e imaxinaria ${\text{Im}}(z)$ :