Elemento maiorante e minorante
En matemáticas, particularmente na teoría da orde, un elemento maiorante dun subconxunto M dalgún conxunto preordenado (K, ≤) é un elemento de K que é maior ou igual que todos os elementos de M. [1] Do mesmo modo un elemento minorante de M defínese como un elemento de K que é menor ou igual a todos os elementos de M. Un conxunto cun maiorante (respectivamente, minorante) dise que está limitado superiormente ou maiorizado (respectivamente limitado inferiormente ou minorizado) por ese límite.
Entre tódolos maiorantes do conxunto M que pertencen a K, denominamos supremo de M ao menor de todos estes maiorantes. Se o supremo pertence tamén a M denominase máximo de M. No diagrama de exemplo se o elemento verde pertenecese a M sería máximo, se non pertence daquela é supremo.
Simetricamente para os minorantes distinguimos ínfimo de mínimo.
Exemplos editar
Por exemplo, 4 e 5 son minorantes para o conxunto S = {5, 8, 42, 34, 13934} (como un subconxunto dos enteiros ou dos números reais, etc.). Por outra banda, 6 non é un elemento minorante para S xa que non é menor que todos os elementos de S . 13934 e outros números x tales que x ≥ 13934 sería maiorantes para S .
O conxunto S = {42} ten o número 42 tanto coma maiorante coma minorante.
Cada subconxunto finito non baleiro dun conxunto totalmente ordenado ten elemento maiorantes e elemento minorante.
Límites das funcións editar
As definicións pódense xeneralizar a funcións e mesmo a conxuntos de funcións.
Dada unha función f co dominio D e un conxunto preordenado (K, ≤) como codominio, un elemento y de K é un límite superior de f se y ≥ f(x) para cada x en D. O maiorante chámase óptimo se a igualdade cúmprese para polo menos un valor de x.
Do mesmo xeito, unha función g definida no dominio D e que teña o mesmo codominio (K, ≤) é maiorante de f, se g(x) ≥ f(x) para cada x en D. Ademais, dise que a función g é maiorante dun conxunto de funcións, se é maiorante de cada función dese conxunto.
A noción de límite inferior para (conxuntos de) funcións defínese de xeito análogo, substituíndo ≥ por ≤.
Límites estritos editar
Un maiorante dise que é un maiorante mínimo ou límite superior mínimo ou supremo se ningún valor menor é maiorante. Do mesmo xeito, dise que un minorante ou límite inferior ou ínfimo, se ningún valor maior é un minorante.
Notas editar
- ↑ "upper-bound". www.mathsisfun.com.