Construción dun cuadrilátero por mediatrices

En xeometría, a construción dun cuadrilátero por mediatrices é un procedemento que produce un novo cuadrilátero a partir dun cuadrilátero dado usando as mediatrices trazadas polos lados do cuadrilátero inicial. Esta construción xorde naturalmente nun intento de atopar unha analoxía coa circunferencia circunscrita dun cuadrilátero no caso de que non ser cíclico.

Primeira iteración da construción mediante as mediatrices dun cuadrilátero

Definición da construción

Supoñamos que os vértices do cuadrilátero $Q$ veñen dadas por $Q_{1},Q_{2},Q_{3},Q_{4}$. Sexan $b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}$ as mediatrices dos lados $Q_{1}Q_{2},Q_{2}Q_{3},Q_{3}Q_{4},Q_{4}Q_{1}$ respectivamente. Así, as súas interseccións $Q_{i}^{(2)}=b_{i+2}b_{i+3}$, cos subíndices considerados co módulo 4, forman o conseguinte cuadrilátero $Q^{(2)}$. A construción itérase en $Q^{(2)}$ para producir $Q^{(3)}$ etcétera.

Pódese obter unha construción equivalente facendo que os vértices de $Q^{(i+1)}$ sexan os circuncentros dos 4 triángulos formados ao seleccionar combinacións de 3 vértices de $Q^{(i)}$.

Propiedades

1. Se $Q^{(1)}$ non é cíclico, $Q^{(2)}$ non está dexenerado.
2. O cuadrilátero $Q^{(2)}$ nunca é cíclico. Combinando # 1 e # 2, $Q^{(3)}$ sempre é non dexenerado.
3. Os cuadriláteros $Q^{(1)}$ e $Q^{(3)}$ son homotéticos e, en particular, semellantes. $Q^{(2)}$e $Q^{(4)}$ tamén son homotéticos.
4. A construción mediante as mediatrices pódese inverter a través do conxugado isogonal. É dicir, dado $Q^{(i+1)}$ é posible construír $Q^{(i)}$.
5. Sexan $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ os ángulos de $Q^{(1)}$. Para cada $i$, a relación de áreas de $Q^{(i)}$ e $Q^{(i+1)}$ vén dada por ${\frac {1}{4}}(\cot(\alpha )+\cot(\gamma ))(\cot(\beta )+\cot(\delta ))$.
6. Se $Q^{(1)}$ é convexo, a secuencia de cuadriláteros $Q^{(1)},Q^{(2)},\ldots$ converxe ao punto isóptico de $Q^{(1)}$, que tamén é o punto isóptico para cada $Q^{(i)}$. Do mesmo xeito, se $Q^{(1)}$ é cóncavo, a secuencia $Q^{(1)},Q^{(0)},Q^{(-1)},\ldots$ obtida ao inverter a construción converxe ao punto isóptico de $Q^{(i)}$.

Véxase tamén

Bibliografía

• J. Langr, Problema E1050, Amer. Mates. Mensual , 60 (1953) 551.
• V. V. Prasolov, "Plane Geometry Problems", vol. 1 (en ruso), 1991; Problema 6.31.
• D. Bennett, a xeometría dinámica renova o interese nun vello problema, en Geometry Turned On (editor J. King), MAA Notes 41, 1997, pp. 25-28.
• J. King, Cuadriláteros formados por bisectrices perpendiculares, en Geometry Turned On (editor J. King), MAA Notes 41, 1997, pp. 29-32.
• G. C. Shephard, A construción bisectriz perpendicular, Geom. Dedicata , 56 (1995) 75-84.
• A. Bogomolny, Cuadriláteros formados por bisectrices perpendiculares Arquivado 13 de maio de 2021 en Wayback Machine., Miscelánea interactiva de matemáticas y acertijos.
• B. Grünbaum, En cuadrángulos derivados de cuadrángulos-Parte 3, Geombinatorics 7 (1998), 88-94.
• Ou. Radko e E. Tsukerman, The Perpendicular Bisector Construction, the Isoptic Point e Simson Line of a Quadrilateral, Forum Geometricorum '12': 161-189 (2012).