Condicións de fronteira de Robin

En matemáticas, a condición de límite de Robin, condición de contorno de Robin, condición de fronteira de Robin ou condición de límite de terceiro tipo, é un tipo de condición de contorno, que recibe o nome de Victor Gustave Robin (1855 – 1897).^[1] Cando se impón a unha ecuación diferencial ordinaria ou parcial, é unha especificación dunha combinación lineal dos valores dunha función e os valores da súa derivada no límite do dominio. Outros nomes equivalentes en uso son condición de tipo Fourier e condición de radiación.^[2]

Definición editar

As condicións de fronteira de Robin son unha combinación ponderada das condicións de fronteira de Dirichlet e das condicións de fronteira de Neumann. Isto contrasta coas condicións de fronteira mixtas, que son condicións de fronteira de diferentes tipos especificadas en diferentes subconxuntos da fronteira. As condicións de fronteira de Robin tamén se chaman condicións de fronteira de impedancia, debido á súa aplicación en problemas electromagnéticos, ou condicións de fronteira convectivas, debido á súa aplicación en problemas de transmisión de calor (Hahn, 2012).

Se Ω é o dominio no que se debe resolver a ecuación dada e ∂Ω denota o seu límite, a condición de límite de Robin é:^[3]

au+b{\frac {\partial u}{\partial n}}=g\qquad {\text{on }}\partial \Omega

para algunhas constantes distintas de cero a e b e unha función dada g definida en ∂Ω. Aquí, u é a solución descoñecida definida en Ω e∂u/∂n denota a derivada normal no límite. De forma máis xeral, a e b poden ser funcións (dadas), en lugar de constantes.

{\begin{aligned}au(0)-bu'(0)&=g(0)\\au(1)+bu'(1)&=g(1)\end{aligned}}

Observe o cambio de signo diante do termo que implica unha derivada: é porque a normal a [0,1] en 0 puntos na dirección negativa, mentres que en 1 apunta na dirección positiva.

Aplicacións editar

As condicións de límite ou fronteira de Robin úsanse habitualmente para resolver problemas de Sturm-Liouville que aparecen en moitos contextos da ciencia e tecnoloxía. As condicións de fronteira de Robin, que combinan aspectos das condicións de Dirichlet (onde se especifica o valor dunha variable) e Neumann (onde se especifica a derivada dunha variable, como o fluxo de calor ou a forza), poden aplicarse na enxeñaría e arquitectura. Por exemplo, unha estrutura de beiril (noutras linguas cantilever, estrutura em consola ou voladizo) pode ter un extremo firmemente fixo (a condición de Dirichlet), mentres que a estrutura tamén pode ter certa flexibilidade ou resistencia á rotación no mesmo extremo (a condición de Neumann).

No contexto de transmisión de calor, as condicións de fronteira de Robin poden describir a transferencia de calor entre o interior dun edificio e o ambiente exterior, onde o fluxo de calor (a derivada, relacionada coa condición de Neumann) depende tanto da temperatura no interior do edificio (a condición de Dirichlet) como do coeficiente de transferencia de calor do material da parede (o coeficiente que combina as condicións de Dirichlet e Neumann nunha condición de Robin).

A condición de límite de Robin é unha forma xeral da condición de contorno illante para ecuacións de convección-difusión. Aquí, os fluxos convectivos e difusos no límite suman cero:

u_{x}(0)\,c(0)-D{\frac {\partial c(0)}{\partial x}}=0

onde D é a constante difusora, u é a velocidade convectiva no límite e c é a concentración. O segundo termo é o resultado da lei de difusión de Fick.

Notas editar

↑ Gustafson, K., (1998). Domain Decomposition, Operator Trigonometry, Robin Condition, Contemporary Mathematics, 218. 432–437.
↑ Logan, J. David, (2001). Transport Modeling in Hydrogeochemical Systems. Springer.
↑ Akin, J. E. (2005-06-22). Finite Element Analysis with Error Estimators: An Introduction to the FEM and Adaptive Error Analysis for Engineering Students (en inglés). Elsevier. ISBN 978-0-08-047275-1.

Véxase tamén editar

Bibliografía editar

Gustafson, K. e T. Abe, (1998a). The third boundary condition, What is Robin's?, The Mathematical Intelligencer, 20, #1, 63 – 71.
Gustafson, K. e T. Abe, (1998b). (Victor) Gustave Robin: 1855–1897, The Mathematical Intelligencer, 20, #2, 47 – 53.
Eriksson, K.; Ested, D.; Johnson, C. (2004) Applied mathematics, body and soul. Berlín, Nova York: Springer. ISBN 3-540-00889-6

Atkinson, Kendall E. THEORETICAL NUMERICAL ANALYSIS: A functional analysis framework. 2001. ISBN 0-387-95142-3. Nova York: Springer.

Eriksson, K.; Computational Differentian Equations. 1996. ISBN 0-521-56738-6. Consultado o x (con rexistro).

Mei, Zhen (2000). Numerical bifurcation analysis for reaction-diffusion equations. 2000. ISBN 3-540-67296-6. Berlín, Nova York: Springer.

Hahn, David W. Heat Condition. 2012. ISBN 978-0-470-90293-6. Nova York; Wiley

[1] Gustafson, K., (1998). Domain Decomposition, Operator Trigonometry, Robin Condition, Contemporary Mathematics, 218. 432–437.

[2] Logan, J. David, (2001). Transport Modeling in Hydrogeochemical Systems. Springer.

[3] Akin, J. E. (2005-06-22). Finite Element Analysis with Error Estimators: An Introduction to the FEM and Adaptive Error Analysis for Engineering Students (en inglés). Elsevier. ISBN 978-0-08-047275-1.

[1]

[2]

[3]